-双调欧几里得旅行商问题

 

动态规划--双调欧几里得旅行商问题

分类： 算法 2010-11-06 14:43  809人阅读  评论(2)  收藏  举报

算法

问题描述： 欧几里得旅行商问题是对平面上给定的n个点确定一条连接各点的最短闭合旅程的问题。如图（a）给出了一个7个点问题的解。这个问题的一般形式是NP完全的，故其解需要多于多项式的时间。

    J.L. Bentley 建议通过只考虑双调旅程(bitonic tour)来简化问题,这种旅程即为从最左点开始，严格地从左到右直至最右点，然后严格地从右到左直至出发点。下图(b)显示了同样的7个点的最短双调路线。在这种情况下，多项式的算法是可能的。事实上，存在确定的最优双调路线的O(n*n)时间的算法。

【动态规划】双调欧几里得旅行商问题
  
注:在一个单位栅格上显示的平面上的七个点。 a)最短闭合路线,长度大约是24.89。这个路线不是双调的。b)相同点的集合上的最短双调闭合路线。长度大约是25.58。

分析： 
第一步，先按照每个节点的x坐标进行排序，从左到右标记为1,2,…,n。算法复杂度可以为O(n*log(n))。

第二步， 构建d[i][j]代表从i->1->j的最短路径长度。依据其定义，我们可以知道d[i][j] = d[j][i]。所以我们只计算i>j时的值。（为什么不考虑i==j时的值？因为对于d[n][n]最小的时候，图中必然不存在任意中间节点被走两次。）
构建W[i][j]代表从i到j的直接距离，坐标运算可得。
此时，考虑两种情况：
 1   i>j+1时，此时i只可能和i-1节点相连。假设i可以与其它节点直接相连，那么由于i>j，i-1>j，j不可能成为两次路径中任意一次的端点。所以d[i][j] = d[i-1][j] + W[i][i-1]。
 2   i==j+1时，此时i可能和所有小于i的节点直接相连。所以
 

第三步，初始值d[2][1] = W[2][1]，两层循环计算d[i][j]。
                          for (int i = 3; i <= n; ++i)
                              for (int j = 1; j < i; ++j)

第四步，计算
 
所得d[n][n]即为最短双调路线的值。

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【转帖】双调欧几里德旅行商问题求解思想描述

分类： 算法导论 2012-05-06 16:55  1419人阅读  评论(0)  收藏  举报

算法 旅游 n2

一、问题介绍： 欧几里得旅行商问题是指：对于给定平面上的n个点，确定一条连接各点的、闭合的最短曲线这个问题是NP完全问题。Bitonic旅行路线问题是欧几里得旅行商问题的简化，这种旅行路线从最左边开始，严格地由左至右到最右边的点，然后再严格的由右至左回到开始点，求最短的路径长度。设计一个确定最优Bitonic旅行路线的O(n2)时间算法。假设不存在x坐标相同的点。 二、算法分析： 根据题意，首先将给定的n个点{p1,p2,…,pn}按x坐标的升序排列。在这里，我采用了快速排序算法，时间复杂度为O(nlogn)。对排好序的n个点进行分析很容易知道p1是最左侧的点，pn是最右侧的点。 下面刻画最优解的结构：首先定义路径Pi,j(i<=j)，对于路径Pi,j来说，它包含的点为p1,p2,..pj。其中pi点为起始点，pi,j表示从pi点开始走，一直向左走到p1然后从p1点沿不同的路径向右走直到pj。其次，定义数组d[i,j]表示pi,j路径上的最小Bitonic路线。很容易看出，题目所求的即是d[n,n]。题目的最优解为d[n,n]，此时，分析当pn点未连通的情况。因为点是排好序的，而且根据题意中的严格方向的要求，可以知道pn点必有一侧是跟pn-1点相连的，那么此时d[n-1,n]应该为pn-1,n的最优解。采用反证法，如果存在d’[n-1,n]，那么用d’[n-1,n]来替换d[n-1,n]就可以得到一个更小的d[n,n]，与已知d[n,n]为最优解矛盾，因此假设不成立。 刻画好了最优解的结构，下面递归定义求解最优解的值：当只有一个点时，d[1,1]无意义。分析大于等于两个点的情况：当只有两个点时，很容易得到：d[1,2]=|p1p2|。对于路径Pi,j来说，如果pi不是pj的相邻点(i=j-1)，d[i,j]=d[i,j-1]+|pj-1pj|；当i=j-1时，对于pj点来说，有一侧必与pi点相连，此时要判断pj点的另一侧与哪个点相连。根据最优解的结构，此时，定义整数k(1<=k，计算每个d[k,j-1]+|pkpj|的值，选择其中最小的一个作为d[i,j]的值，并且记录k值，将pj与pk相连。 根据以上分析，可以得到d[n,n]的计算方法如下所示： d[1,2]=|p1p2| d[i,j]=d[i,j-1]+|pj-1pj|(i d[i,j]=min1<=k{d[k,j-1]+|pkpj|} d[n,n]=d[n-1,n]+|pn-1pn| 接下来计算最优解的值，采用自底向上方法，在计算过程中，需要保存两个值，第一个是数组d[i,j]的值，第二个是要记录pi,j中pj点的相邻连接点的下标，用数组pre[i,j]表示。算法如下所示： Bitonic-tour(p) Quicksort{p1,p2,…pn} in order of increasing x-coordinate d[1,2]←|p1p2| for j←3 to n do for i←1 to j-2          do d[i,j] ← d[i,j-1]+|pj-1pj|             pre[i,j]=j-1      d[j-1,j] ← ∞      for k←1 to j-2          do a←b[k,j-1]+|pkpj|             if a                then d[j-1,j] ←a                     pre[j-1,j] ←k d[n,n]=d[n-1,n]+|pn-1pn| return d and pre 最后，构造问题的最优解：根据题意，题目应该输出一个关于点集p的序列，这个序列即是题目中所求的旅游路线。在这里，我定义了输出的方式为从最右侧的点pn开始输出，依次输出左行方向的点直到p1，然后输出右行方向的点直到和pn相连的那个点为止。我们已知两个表d[i,j]和pre[i,j]，输出的算法描述如下所示： Output-tour(p) print pn print pn-1 k←pre[n-1,n] Print-tour(pre,k,n-1) print pk Print-tour(pre,i,j) if i then k←pre[i,j]      print pk      if k>1         then Print-tour(pre,i,k) else k←pre[j,i]      if k>1         then Print-tour(pre,k,j)              print pk 文章出处：http://blog.myspace.cn/e/404572333.htm 有感：关键点的理解：就是排序后p1,...,pn-1,pn 这n个点，组成的最优解中，由于要求是双调，所以pn一 定与pn-1这个点向连。所以就可以把一个求环的问题归约成一个求简单路径的问题。 这个简单路径就是pn-1严格递减向左走到p1,然后p1在严格递增向右走到pn.这个路径恰好用到p1到pn这n个 点。求解思想就是动态规划。