多重背包问题 I

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0 0

输入样例：

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

题目链接

这道题与01背包差不多，还是原汁原味的方程。
f[i,j]代表的是从前i个物品选，并且总体积小于等于j的方程。
不过与01背包不一样的是第i个物品可以选si个。
那我们怎么进行状态计算呢，就是以第i个物品选多少个来划分。
我们就需要枚举所有可能选的情况就可以了。
状态转移方程：

f[i,j]=max(f[i,j],f[i-1,j-k*v[i]]+k*w[i]);

代码如下：

#include 
#include 
using namespace std;
const int N = 100 + 10;
int v[N],w[N],s[N];
int f[N][N];
int n,m;
using namespace std;
int main()
{
    cin>>n>>m;
    
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            for(int k=0;k<=s[i] && k*v[i]<=j;k++)//k不能超过给定的数量并且不能超过枚举的体积。
            {
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]*k]+w[i]*k);
            }
        }
    }
    cout << f[n][m] << endl;
    
    return 0;
}

既然用到了f[i-1]层的数据，那么我们就可以类似的，跟01背包一样的优化。将二维数组优化为一维。只需要将体积逆向枚举就可以。

代码如下：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int maxn = 110;
int s[maxn],v[maxn],w[maxn];
int f[maxn];
int n,m;
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d%d",&v[i],&w[i],&s[i]);
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=m;j>=v[i];j--){
            for(int k=0;k<=s[i]&&k*v[i]<=j;k++){
                f[j]=max(f[j],f[j-k*v[i]]+k*w[i]);
            }
        }
    }
    cout << f[m];
    return 0;
}