BZOJ-2440 中山市选2011 完全平方数 二分查找 + 莫比乌斯反演 + 容斥原理

大家都很强， 可与之共勉。

2440: [中山市选2011]完全平方数
Description
小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些
数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一
个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了
小X。小X很开心地收下了。
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

Input
包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试
数据的组数。
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。

Output
含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的
第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

Sample Input
4
1
13
100
1234567
Sample Output
1
19
163
2030745
HINT

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9, T ≤ 50

说起来这个题面。。。
按照题面， 1是完全平方数。。。
所以所有的数不是都不行吗？

更正一下。
题设应该为求第k个无平方因子数。
什么是无平方因子数？
即质因数分解之后所有质因数的次数都为1的数。

我们可以把<=n的 所有i^2的倍数的数减掉(i为质数)

算重怎么办？

答案就是n-奇数个质数的平方的倍数的个数+偶数个质数的平方的倍数的个数

考虑莫比乌斯函数， 我们发现每一个质数乘积的符号与莫比乌斯函数的符号恰好吻合！莫比乌斯函数！（容斥原理）

即 ans=Σmu[i]*(n/i^2) （i<=(int) sqrt(n) 显然i如果>sqrt(n)个数肯定为0）

然后二分求解。。。
此处有一个黑膜法， R边界为2 * k， 我也不知道为什么对吧 。

/************************************************************** 
    Problem: 2440 
    User: Lazer2001 
    Language: C++ 
    Result: Accepted 
    Time:1076 ms 
    Memory:1308 kb 
****************************************************************/

#include  

const int MaxN = 50005; 

int T, k ; 

short isnot[MaxN]; 
int to, tot, mu[MaxN], prime[MaxN] ; 

inline void Liner_Shaker ( )  { 
    mu[1] = 1; 
    for ( int i = 2 ; i < MaxN ; ++ i )  { 
        if ( !isnot[i] )  { 
            prime[tot ++] = i ; 
            mu[i] = -1 ; 
        } 
        for ( int j = 0 ; i * prime[j] < MaxN ; ++ j )  { 
            to = prime[j] * i ; 
            isnot[to] = 1 ; 
            if ( i % prime[j] )  mu[to] = -mu[i] ; 
            else break ; 
        } 
    }  
} 

inline int count ( int x )  { 
    static int ret ; 
    ret = 0 ; 
    for ( int i = 1 ; i * i <= x ; ++ i )    ret += x / ( i * i ) * mu[i] ; 
    return ret ; 
} 

inline int Binary_search ( int L, int R, int k )  { 
    static int mid ; 
    while ( L ^ R )  { 
        mid = ( L >> 1 ) + ( R >> 1 ) + ( L & R & 1 ) ; 
        count ( mid ) >= k ? R = mid : L = mid + 1 ; 
    } 
    return L ; 
} 

int main ( )  { 
    Liner_Shaker ( ) ; 
    for ( scanf ( "%d", &T ) ; T ; -- T )  { 
        scanf ( "%d", &k ) ; 
        printf ( "%d\n", Binary_search ( 1, k << 1, k ) ) ; 
    } 

}