数据结构 —— 线段树
【概述】
线段树是一种二叉搜索树，其存储的是一个区间的信息，每个结点以结构体的形式去存储，每个结构体包含三个元素：区间左端点、区间有端点、该区间要维护的信息（视实际情况而定），其基本思想是分治的思想。
其特点是：
- 每个节点的左孩子区间范围为 [l，mid]，右孩子为 [mid+1,r]
- 对于结点 k，左孩子结点为 2*k，右孩子为 2*k+1，符合完全二叉树的性质
线段树一般结构如图：
【基础操作实现】
线段树的基础操作主要有 5 个：建树、单点查询、单点修改、区间查询、区间修改
结点：
struct node{
int l,r;//区间左右端点
int w;//区间和
}tree[4*n+1];//树开4倍空间。以下的实现均以求区间和为例
1.建树
1）思路
- 对于二分到的每一个结点，给它的左右端点确定范围
- 如果是叶子节点，存储要维护的信息
- 状态合并
2）实现
void build(int l,int r,int k){
tree[k].l=l;
tree[k].r=r;
if(l==r){//叶子节点
scanf("%d",&tree[k].w);
return;
}
int mid=(l+r)/2;
buildTree(l,mid,k*2);//左孩子
buildTree(mid+1,r,k*2+1);//右孩子
tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w;//状态合并，此结点的w=两个孩子的w和
}
2.单点查询
1）思路
单点查询即查询一个点的状态，其查询方法与二分查询法基本一致。
若当前枚举的点左右端点相等，即为叶节点时，就是最终的目标节点。
若当前枚举的点左右端点不等，设查询位置为 x，当前结点区间范围为 l、r，中点为 mid，则若 x<=mid，则递归它的左孩子，否则递归它的右孩子。
2）实现
void queryNode(int k){
if(tree[k].l==tree[k].r){//当前结点的左右端点相等，为叶子节点，是最终答案
ans=tree[k].w;
return;
}
int mid=(tree[k].l+tree[k].r)/2;
if(x<=mid)//目标位置比中点靠左，就递归左孩子
queryNode(k*2);
else//反之，递归右孩子
queryNode(k*2+1);
}
3.单点修改
1）思路
单点修改即更改某一个点的状态，对第 x 个数加上 y，其基本思想是结合单点查询的原理，找到 x 的位置，然后根据建树状态合并的原理，修改每个结点的状态。
2）实现
void updateNode(int k){
if(tree[k].l==tree[k].r){//找到目标位置
tree[k].w+=y;
return;
}
int mid=(tree[k].l+tree[k].r)/2;
if(x<=mid)//目标位置比中点靠左，就递归左孩子
updateNode(k*2);
else//反之，递归右孩子
updateNode(k*2+1);
tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w;//所有包含结点k的结点状态更新
}
4.区间查询
1）思路
区间查询，即查询一段区间的状态
2）实现
void queryInterval(int k,int x,int y){
if(tree[k].l>=x&&tree[k].r<=y){
ans+=tree[k].w;
return;
}
int mid=(tree[k].l+tree[k].r)/2;
if(x<=mid)
queryInterval(k*2,x,y);
if(y>mid)
queryInterval(k*2+1,x,y);
}5.区间修改
1）思路
区间修改即修改一段连续区间的值，给区间 [a,b] 的每个数都加 x
线段树更新树时，为了避免更新而导致超时问题，因此每次修改只修改相对应的区间，然后记录一个延迟标记，其作用是：存储到这个节点的修改信息，暂时不把修改信息传到子节点。简单来说，每次更新的时候不要更新到底，用延迟标记使得更新延迟到下次需要更新 or 询问的时候。
下次更新或者查询的时候，如果查到该节点，就把延迟标记进行下传，将值加到他的子节点上去，同时将延迟标记变为 0，避免下次重复更新。这样只更新到查询的子区间，不需要再往下找了，极大的降低了时间复杂度。
以下图为例，一开始对区间 [1,4] 每个值都 +3，只有当需要对 [3,4] 区间查询时，才对下面的区间进行更新，其他区间无需更新。
具体操作：
- 原结构体中增加新的变量，存储这个标记
- 递归到这个节点时，只更新这个节点的状态，并把当前的更改值累积到标记中
- 当需要递归这个节点的子节点时，标记下传给子节点，此时不必是哪个子节点，两个都传下去
下传操作的原理：
- 当前节点的标记累积到子节点的标记中
- 修改子节点状态，在当前的求和实例中，即原状态+子节点区间点的个数*父节点传下来的标记
- 父节点标记清 0
2）实现
标记下传：
void pushDown(int k){
tree[k*2].f+=tree[k].f;//左孩子更新延迟标记
tree[k*2+1].f+=tree[k].f;//右孩子更新延迟标记
tree[k*2].w+=tree[k].f*(tree[k*2].r-tree[k*2].l+1);//左孩子状态更新
tree[k*2+1].w+=tree[k].f*(tree[k*2+1].r-tree[k*2+1].l+1);//右孩子状态更新
tree[k].f=0;//当前延迟标记清零
}
区间修改：
void updateInterval(int k,int x,int y){
if(tree[k].l>=x&&tree[k].r<=y){//当前区间全部对要修改的区间有用
tree[k].w+=(tree[k].r-tree[k].l+1)*x;//(r-1)+1区间点的总数
tree[k].f+=x;
return;
}
if(tree[k].f)//标记下传。只有不满足上面的if条件才执行，所以一定会用到当前节点的子节点
pushDown(k);
int mid=(tree[k].l+tree[k].r)/2;
if(x<=mid)
updateInterval(k*2,x,y);
if(y>mid)
updateInterval(k*2+1,x,y);
tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w;//更改区间状态
}
【模版】
1.单点更新+区间查询
以求和为例，具体情况根据题意
struct Node{
int l,r;//左右区间
int sum;//区间和
} tree[N*4];
int a[N];
void pushUp(int i){//维护子结点
tree[i].sum=tree[i*2].sum+tree[i*2+1].sum;
}
void build(int i,int l,int r){ //建树
tree[i].l=l;
tree[i].r=r;
if(l==r){//叶节点
tree[i].sum=a[l];
//边输入边建树
//scanf("%d",&a[i]);
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(i*2,l,mid);//结点的左儿子
build(i*2+1,mid+1,r);//结点的右儿子
pushUp(i);
}
//对id号点进行修改
void update(int i,int id,int val){//线段树单点修改
if(tree[i].l==tree[i].r){
tree[i].sum+=val;
return;
}
int mid=(tree[i].l+tree[i].r)/2;
if(id<=mid)
update(i*2,id,val);
if(id>mid)
update(i*2+1,id,val);
pushUp(i);
}
int query(int i,int ql,int qr){//线段树区间查询
if(ql<=tree[i].l&&qr>=tree[i].r)//当前区间在目标区间内
return tree[i].sum;
int mid=(tree[i].l+tree[i].r)/2;
int res=0;
if(ql<=mid)
res+=query(i*2,ql,qr);
if(qr>mid)
res+=query(i*2+1,ql,qr);
return res;
}
int main(){
int n,m;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)//初始值
cin>>a[i];
build(1,1,n);//先输入再建树
cin>>m;//m组询问
while(m--){
int p;
cin>>p;
if(p==1){//单点更新
int id,val;
cin>>id>>val;
update(1,id,val);
}
else if(p==2){//区间查询
int a,b;
cin>>a>>b;
cout<2.区间更新+区间查询
struct Node{
int l,r;//左右区间
int sum;//区间和
int maxx,minn;//区间最值
int lazyAdd;//区间增值时的延迟标记
int lazySet;//区间赋值时的延迟标记
}tree[N*4];
int a[N];
int resSum,resMax,resMin;//存储结果
void pushDown(int i){//标记下传
if(tree[i].lazySet!=-1){
tree[i*2].lazySet=tree[i*2+1].lazySet=tree[i].lazySet;
tree[i*2].lazyAdd=tree[i*2+1].lazyAdd=0;
tree[i*2].minn=tree[i*2+1].minn=tree[i].lazySet;
tree[i*2].maxx=tree[i*2+1].maxx=tree[i].lazySet;
tree[i*2].sum=(tree[i*2].r-tree[i*2].l+1)*tree[i].lazySet;
tree[i*2+1].sum=(tree[i*2+1].r-tree[i*2+1].l+1)*tree[i].lazySet;
tree[i].lazySet=-1;
}
///左子节点
tree[i*2].lazyAdd+=tree[i].lazyAdd;//打上延迟标记
tree[i*2].minn+=tree[i].lazyAdd;//更新
tree[i*2].maxx+=tree[i].lazyAdd;//更新
tree[i*2].sum+=tree[i].lazyAdd*(tree[i*2].r-tree[i*2].l+1);//更新
///右子节点
tree[i*2+1].lazyAdd+=tree[i].lazyAdd;//打上延迟标记
tree[i*2+1].minn+=tree[i].lazyAdd;//更新
tree[i*2+1].maxx+=tree[i].lazyAdd;//更新
tree[i*2+1].sum+=tree[i].lazyAdd*(tree[i*2+1].r-tree[i*2+1].l+1); //更新
tree[i].lazyAdd=0;//清除标记
}
void pushUp(int i){//维护子节点
tree[i].sum=tree[i*2].sum+tree[i*2+1].sum;
tree[i].maxx=max(tree[i*2].maxx,tree[i*2+1].maxx);
tree[i].minn=min(tree[i*2].minn,tree[i*2+1].minn);
}
void build(int i,int l,int r){//建树
tree[i].l=l;
tree[i].r=r;
tree[i].lazyAdd=0;
tree[i].lazySet=-1;
if(l==r){//叶结点
tree[i].sum=a[l];
tree[i].maxx=a[l];
tree[i].minn=a[l];
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(i*2,l,mid);//结点左儿子
build(i*2+1,mid+1,r);//结点右儿子
pushUp(i);
}
void updateSet(int i,int ql,int qr,int val){//区间修改，整体赋值为val
if(tree[i].l>=ql && tree[i].r<=qr){
tree[i].sum=val*(tree[i].r-tree[i].l+1);
tree[i].minn=val;
tree[i].maxx=val;
tree[i].lazySet=val;
tree[i].lazyAdd=0;
return;
}
pushDown(i);//标记下传
int mid=(tree[i].l+tree[i].r)/2;
if(ql<=mid)
updateSet(i*2,ql,qr,val);
if(qr>mid)
updateSet(i*2+1,ql,qr,val);
pushUp(i);
}
void updateAdd(int i,int ql,int qr,int val){//区间修改，整体+val
if(tree[i].l>=ql&&tree[i].r<=qr){
tree[i].sum+=val*(tree[i].r-tree[i].l+1);
tree[i].minn+=val;
tree[i].maxx+=val;
tree[i].lazyAdd += val;
return;
}
pushDown(i);//标记下传
int mid=(tree[i].l+tree[i].r)/2;
if(ql<=mid)
updateAdd(i*2,ql,qr,val);
if(qr>mid)
updateAdd(i*2+1,ql,qr,val);
pushUp(i);
}
void query(int i,int ql,int qr){//区间查询
if(ql<=tree[i].l && tree[i].r<=qr){
resSum+=tree[i].sum;
resMax=max(resMax,tree[i].maxx);
resMin=min(resMin,tree[i].minn);
return ;
}
pushDown(i);
int mid=(tree[i].l+tree[i].r)/2;
if(ql<=mid)
query(i*2,ql,qr);
if(qr>mid)
query(i*2+1,ql,qr);
pushUp(i);
}
int main(){
int n;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>a[i];
build(1,1,n);
int m;
cin>>m;
while(m--){
int p;
cin>>p;
if(p==1){//区间整体赋值
int a,b;//区间
int val;//值
scanf("%d%d%d",&a,&b,&val);
updateSet(1,a,b,val);
}
else if(p==2){//区间整体加值
int a,b;//区间
int val;//值
scanf("%d%d%d",&a,&b,&val);
updateAdd(1,a,b,val);
}
else if(p==3){//区间查询
int a,b;
cin>>a>>b;
resSum=0,resMax=-INF,resMin=INF;
query(1,a,b);
cout<<"Sum="<