R语言应用于分析矩阵

R语言应用于分析矩阵

学习《统计建模与R软件》（薛毅2006）这本书，使用R语言对书中练习题解答。矩阵分析为书中第二章内容，练习题如下：

2.1 建立一个R文件，在文件中输入变量 \(x = (1, 2, 3)^T\)，\(y = (4, 5, 6)^T\)，并作以下运算。
（1）计算\(z = 2x + y + e\)，其中\(e = (1, 1, 1)^T\)；
（2）计算\(x\)和\(y\)的内积；
（3）计算\(x\)和\(y\)的外积。
解：

x <- c(1, 2, 3)
y <- c(4, 5, 6)
e <- c(1, 1, 1)
#建立向量x，y和e

z = 2*x + y + e
print(z) #第一问矩阵加法计算 

## [1]  7 10 13

x %*% y #第二问矩阵内积计算，或者使用crossprod(x, y) 

##      [,1]
## [1,]   32

x %o% y #第三问矩阵外积计算，或者使用tcrossprod(x, y)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    4    5    6
## [2,]    8   10   12
## [3,]   12   15   18

---

2.2 将1，2，…，20构成两个\(4 × 5\)阶的矩阵，其中矩阵A是按列输入，矩阵B是按行输入，并作如下运算。
（1）\(C = A + B\)；
（2）\(D = AB\)；
（3）\(E = (e_{ij})_{n×n}\)，其中\(e_{ij} = a_{ij}×b_{ij}\)；
（4）\(F\)是由\(A\)的前三行和前三列构成的矩阵；
（5）\(G\)是由矩阵\(B\)的各列构成的矩阵，但不含B的第三列。
解：

A <- matrix(1:20, nrow = 4)
B <- matrix(1:20, nrow = 4, byrow = TRUE)
#建立矩阵A，B

C = A + B
print(C) #第一问矩阵加法

##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,]    2    7   12   17   22
## [2,]    8   13   18   23   28
## [3,]   14   19   24   29   34
## [4,]   20   25   30   35   40

#D = A %*% B
#print(D) #第二问两个矩阵的乘积，题目出错了

E = A * B
print(E) #第三问两个矩阵中对应项乘积计算

##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,]    1   10   27   52   85
## [2,]   12   42   80  126  180
## [3,]   33   84  143  210  285
## [4,]   64  136  216  304  400

F <- A[1:3, 1:3]
print(F) #第四问

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    5    9
## [2,]    2    6   10
## [3,]    3    7   11

G <- B[ ,-B[,3]]
print(G) #第五问

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    1    2    4    5
## [2,]    6    7    9   10
## [3,]   11   12   14   15
## [4,]   16   17   19   20

---

2.3 构造一个向量\(x\)，向量是由5个1，3个2，4个3，2个4构成，注意通道rep()函数。 解：

x <- c(rep(1, 5), rep(2, 3), rep(3, 4), rep(4, 2))
print(x)  

##  [1] 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 4 4

---

2.4 生成一个5阶的Hilbert矩阵， \(H = (h_{ij})_{n×n}\)，\(h_{ij} = \frac{1}{i + j + 1}\)，\(i,j = 1,2,…,n\)。 （1）计算Hilbert矩阵H的行列式； （2）求H的逆矩阵； （3）求H的特征值和特征向量。 解：

H <- array(0, dim = c(5,5))
for (i in 1:5){for (j in 1:5){H[i, j] = 1/(i+j-1)}}
print(H) #建立矩阵H，第一问

##           [,1]      [,2]      [,3]      [,4]      [,5]
## [1,] 1.0000000 0.5000000 0.3333333 0.2500000 0.2000000
## [2,] 0.5000000 0.3333333 0.2500000 0.2000000 0.1666667
## [3,] 0.3333333 0.2500000 0.2000000 0.1666667 0.1428571
## [4,] 0.2500000 0.2000000 0.1666667 0.1428571 0.1250000
## [5,] 0.2000000 0.1666667 0.1428571 0.1250000 0.1111111

solve(H) #第二问

##       [,1]   [,2]    [,3]    [,4]   [,5]
## [1,]    25   -300    1050   -1400    630
## [2,]  -300   4800  -18900   26880 -12600
## [3,]  1050 -18900   79380 -117600  56700
## [4,] -1400  26880 -117600  179200 -88200
## [5,]   630 -12600   56700  -88200  44100

eigen(H) #第三问

## $values
## [1] 1.567051e+00 2.085342e-01 1.140749e-02 3.058980e-04 3.287929e-06
## 
## $vectors
##            [,1]       [,2]       [,3]        [,4]         [,5]
## [1,] -0.7678547  0.6018715 -0.2142136  0.04716181  0.006173863
## [2,] -0.4457911 -0.2759134  0.7241021 -0.43266733 -0.116692747
## [3,] -0.3215783 -0.4248766  0.1204533  0.66735044  0.506163658
## [4,] -0.2534389 -0.4439030 -0.3095740  0.23302452 -0.767191193
## [5,] -0.2098226 -0.4290134 -0.5651934 -0.55759995  0.376245545

---

2.5 已知有5名学生的数据，如下表所示，用数据框的形式读入数据。

表：学生数据

序号	姓名	性别	年龄	身高(cm)	体重(kg)
1	张三	女	14	156	42.0
2	李四	男	15	165	49.0
3	王五	女	16	157	41.5
4	赵六	男	14	162	52.0
5	丁一	女	15	159	45.5

解：

num <- c(1:5)
name <- c("张三", "李四", "王五", "赵六", "丁一")
gender <- c("女", "男", "女", "男", "女")
age <- c(14, 15, 16, 14, 15)
high <- c(156, 165, 157, 162, 159)
weigh <- c(42.0, 49.0, 41.5, 52.0, 45.5)
#建立向量

students <- data.frame(num, name, gender, age, high, weigh)
colnames(students) <- c("序号", "姓名", "性别", "年龄", "身高(cm)", "体重(kg)")
print(students)

##   序号 姓名 性别 年龄 身高(cm) 体重(kg)
## 1    1 张三   女   14      156     42.0
## 2    2 李四   男   15      165     49.0
## 3    3 王五   女   16      157     41.5
## 4    4 赵六   男   14      162     52.0
## 5    5 丁一   女   15      159     45.5

#建立数据框

---

2.6 将2.5中的数据表的数据写成一个纯文本文件，用函数read.table()读该文件，然后再用函数write.csv()写成一个能用Excel表打开的文件，并用Excel表打开。 解：

write.table(students, file = "students.txt") #写成txt纯文本文件

a <- read.table("students.txt", sep = "", header = T)  
print(a) #读取txt纯文本文件

##   序号 姓名 性别 年龄 身高.cm. 体重.kg.
## 1    1 张三   女   14      156     42.0
## 2    2 李四   男   15      165     49.0
## 3    3 王五   女   16      157     41.5
## 4    4 赵六   男   14      162     52.0
## 5    5 丁一   女   15      159     45.5

write.csv(students, file = "studens.csv") #写成csv文件

---

2.7 编写一个R程序（函数）。输入一个整数n，如果n≤0，则终止运算，并输出一句话：『要求输出一个正整数』；否则，如果n是偶数，则将n除2，并赋值给n；否则将3n+1赋给n。不断循环，直到n = 1，才停止计算，并输出一句话：『运算成功』。这个例子是为了检验数论中的一个简单的定理。
解：

F <- function(n){
  if(n <= 0)
    print("要求输出一个正整数")
  else{
    repeat{
      if(n == 1)break
      else if(n %% 2 == 0){n <- n/2}
      else n <- 3*n + 1
    }
    print("运算成功")
  }
}

F(90)

## [1] "运算成功"

F(0)

## [1] "要求输出一个正整数"