[图] 拓扑排序 拓扑有序序列-有向图是否有回路-AOV网络

AOV网

【AOV网】Activity On Vertex Network

1. 用【顶点】表示活动
2. 用【边】表示活动的先后顺序
3. 没有回路
4. 有向图

特点	说明
常用AOV网来表示一个工程的施工图或程序的数据流图	AOV网描述了一种有实际意义的点，这种有实际意义的点自然有先后顺序
AOV网不能有回路	【有回路的例子】 打地基->做房子结构->砌墙->装修->打地基 【解释】 “做房子结构“的前提是“打地基”，“砌墙”的前提是“做房子结构”，“装修”的前提是“砌墙”，“打地基”的前提是“装修” 【说明】 到底是哪一个先开始，有回路就没法做了
AOV图可以可以导出很多种执行序列	【生产次序1】原材料->部件1->部件2->部件3->成品 【生产次序2】原材料->部件3->部件2->部件1->成品 【生产次序3】原材料->部件1->部件2->成品->部件3（×，部件3没有生产，成品不能先生产）

拓扑排序

上面提到，AOV网可以导出很多种执行序列。那如何导出正确的执行序列呢？进行拓扑排序，拓扑排序的结果为拓扑排序序列，其即为正确的执行序列

【拓扑排序】按照有向图给出的次序关系，将图中顶点排成一个线性序列
【作用】

1. 导出AOV网的执行序列（拓扑有序序列）：一个有向图对应多个拓扑有序序列
2. 检查有向图有没有环：拓扑排序结束后，如果图中还有顶点->有向图存在环

拓扑排序结果

情况1：新图中没有顶点

步骤数	入度为0的有	选择顶点 并删除顶点与弧	输出
1	A,B,C	A	“A”
2	B,C	B	“AB”
3	D,C	D	“ABD”
4	F,G,C	F	“ABDF”
5	G,C	G	“ABDFG”
6	C	C	“ABDFGC”
7	E	E	“ABDFGCE”
8	H	H	“ABDFGCEH”
9	I	I	“ABDFGCEHI”

删除至此，新图为空，没有结点了，说明没有回路，"ABDFGCEHI"即为【拓扑有序序列】

情况2：该有向图不是AOV网

步骤数	入度为0的有	选择顶点 并删除顶点与弧	输出
1	A,C	A	“A”
2	C	C	“AC”

找不到入度为0的顶点=>退出=>图还没有空图=>有回路

拓扑排序代码-C语言

【数据结构】邻接表为例
需要将邻接表的数据结构加上一个count，表示入度

typedef struct VNode{
	char data;
	int count; //入度
	ArcNode *firstarc; //第一条边
}VNode, AdjList[MAX_VERTEX_NUM];

【代码】

//计算每个顶点的入度
void CntGraphIndegree(ALGraph *pG) {
	ArcNode *p;
	int i;
	for (i=0; i<pG->vernum; i++) {
		for (p=pG->vers[i].firstarc; p; p=p->next) {
			pG->vers[p->adjV].count++;
		}
	}
}
// 拓扑排序，并打印拓扑序列
int TopSort(ALGraph *pG) {
	int i,j;
	int n=0;
	int stack[maxSize],top=-1; //保存当前所有入度为0的顶点
	ArcNode *p;

	CntGraphIndegree(pG); //计算入度
	//将入度为0的顶点压入栈中
	for (i=0; i<pG->vernum; i++) {
		if (pG->vers[i].count==0)
			stack[++top]=i; 
	}

	while (top!=-1) {
		i = stack[top--]; //顶点出栈，等效于在图中删掉
		++n;
		printf("%c ", pG->vers[i].data);

		p=pG->vers[i].firstarc;
		while (p!=NULL) {
			j = p->adjV;
			--(pG->vers[j].count);
			if (pG->vers[j].count==0)
				stack[++top]=j;
			p=p->next;
		}
	}

	if (n==pG->vernum) //拓扑排序后没有剩余顶点
		return 1;
	else //拓扑排序后还有剩余顶点
		return 0;
}

【时间复杂度】O(n+e)

1. 算法主体部分为一个单层循环和一个双层循环
   1. 单层循环：执行次数为n
   2. 双重循环：根据循环条件分析循环执行次数比较难
      • 看进栈操作，因在无环情况下，每个结点恰好进栈一次 -> 进栈操作执行次数为n
      • 分析入度减1的操作，在无环情况下，当排序结束时，每个边恰好被逻辑删除一次 ->入度减1操作执行次数为e
2. 本算法中基本操作执行次数为n+n+e
3. 因此时间复杂度为O(n+e)

逆拓扑排序

1. 从有向图中选择一个出度为0的顶点输出
2. 删除1中的顶点，并且删除指向该顶点的全部边
3. 重复上述两步，直到剩余的图中不存在出度为0的顶点为止

方法一：拓扑排序修改

将拓扑排序的算法进行修改，将入度改成出度即可

方法二：深度优先遍历的方法

【原理】由于图中无环，当由图中某顶点出发进行DFS，最先退出算法的顶点即为出度为0的顶点，它是拓扑有序序列中的最后一个顶点

1. 最先退出算法的顶点即是出度为0的顶点（先退出来的顶点没有邻边）：退出算法指所遍历的顶点退出当前系统栈
2. 按照DFS算法先后次序并不是指最终遍历结果序列，而是顶点退出系统栈的顺序

【例子】图{A->B，A->C，B->D，C->D}的DFS过程

操作	栈中元素	出栈元素
A入栈	A
B入栈	AB
D入栈	ABD
D出栈	AB	D
B出栈	A	DB
C入栈	AC	DB
C出栈	A	DBC
A出栈		DBCA

• 因此，各个元素出栈先后序列为DBCA，为拓扑序列ACBD的逆拓扑序列

【实现】结点没有边的时候输出 --> 输出的是从尾到头的序列 --> 逆拓扑序列

void DFS(int v, ALGraph *pG) {
	visit[v] = 1;
	ArcNode *q = pG->vers[v].firstarc;
	while (q!=NULL) {
		if (visit[q->adjV]==0)
			DFS(q->adjV, pG);
		q=q->next;
	}
	Visit(v); //v的邻边都被访问过了，再输出
		//第一个输出的，就是v没有邻边-->即末端的结点
}

附：拓扑排序完整代码-C语言

测试数据	结果

【完整代码】

#include
#include

#define maxSize 50
#define MAX_VERTEX_NUM 20

#ifndef BASE
#define BASE
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define OK 1
#define ERROR 0
#define INFEASIBLE -1
#define OVERFLOW -2
typedef int Status;
typedef int bool;
#endif

typedef struct ArcNode{
	int adjV;
	struct ArcNode *next;
}ArcNode;
typedef struct VNode{
	char data;
	int count; //入度
	ArcNode *firstarc; //第一条边
}VNode, AdjList[MAX_VERTEX_NUM];
typedef struct{
	int vernum,arcnum;
	AdjList vers;
}ALGraph;

/*------------------------
 |创建有向图的邻接表     |
 ------------------------*/
Status InitGraph_AL(ALGraph *pG) { //初始化
	int i;
	pG->arcnum = 0;
	pG->vernum = 0;
	for (i=0; i<MAX_VERTEX_NUM; ++i)
		pG->vers[i].firstarc = NULL; //VC++6.0中指针初始化为0xcccccccc
	return OK;
}
int LocateVex_AL(ALGraph G, char e) { //定位值为e的元素下标
	int i;
	for (i=0; i<G.vernum; ++i) {
		if (G.vers[i].data == e) {
			return i;
		}
	}
	return -1;
}
Status CreateDG_AL(ALGraph *pG) { //创建有向图的邻接表--不带权
	//输入规则：顶点数目->弧的数目->各顶点的信息->各条弧的信息
	int i,a,b;
	char tmp[MAX_VERTEX_NUM];
	char h,t;
	ArcNode *p, *q;

	InitGraph_AL(pG); //VC++6.0中指针初始化为0xcccccccc，如果不将指针初始化为NULL，会出错
	//顶点数目
	scanf("%d", &i); if (i<0) return ERROR;
	pG->vernum = i;
	//弧的数目
	scanf("%d", &i); if (i<0) return ERROR;
	pG->arcnum = i;
	//各顶点信息
	scanf("%s", tmp);
	for (i=0; i<pG->vernum; ++i) {
		pG->vers[i].data=tmp[i];
		pG->vers[i].count=0;
	}
	//弧的信息
	for (i=0; i<pG->arcnum; ++i) {
		scanf("%s", tmp);
		h = tmp[0]; t = tmp[2];
		a = LocateVex_AL(*pG, h);
		b = LocateVex_AL(*pG, t);
		if (a<0 || b<0) return ERROR;
		p = (ArcNode *)malloc(sizeof(ArcNode)); if (!p) exit(OVERFLOW);
		p->adjV=b;p->next=NULL;
		if (pG->vers[a].firstarc) { //已经有边了
			for (q = pG->vers[a].firstarc; q->next; q=q->next) ; //找到最后一条
			q->next = p;
		} else { //第一条边
			pG->vers[a].firstarc = p;
		}
	}
	return OK;
}

//计算每个顶点的入度
void CntGraphIndegree(ALGraph *pG) {
	ArcNode *p;
	int i;
	for (i=0; i<pG->vernum; i++) {
		for (p=pG->vers[i].firstarc; p; p=p->next) {
			pG->vers[p->adjV].count++;
		}
	}
}
// 拓扑排序，并打印拓扑序列
int TopSort(ALGraph *pG) {
	int i,j;
	int n=0;
	int stack[maxSize],top=-1; //保存当前所有入度为0的顶点
	ArcNode *p;

	CntGraphIndegree(pG); //计算入度
	//将入度为0的顶点压入栈中
	for (i=0; i<pG->vernum; i++) {
		if (pG->vers[i].count==0)
			stack[++top]=i; 
	}

	while (top!=-1) {
		i = stack[top--]; //顶点出栈，等效于在图中删掉
		++n;
		printf("%c ", pG->vers[i].data);

		p=pG->vers[i].firstarc;
		while (p!=NULL) {
			j = p->adjV;
			--(pG->vers[j].count);
			if (pG->vers[j].count==0)
				stack[++top]=j;
			p=p->next;
		}
	}

	if (n==pG->vernum) //拓扑排序后没有剩余顶点
		return 1;
	else //拓扑排序后还有剩余顶点
		return 0;
}

int main() {
/*
测试数据：没有回路
9
11
ABCDEFGHI
A,D
B,D
B,E
C,E
D,F
D,G
E,H
F,I
G,E
G,I
H,I
测试数据二：有回路
9
11
ABCDEFGHI
A,D
B,D
C,E
D,F
D,G
E,B
E,H
F,I
G,E
G,I
H,I
*/
	ALGraph G;
	int ret;

	CreateDG_AL(&G);

	ret = TopSort(&G);
	printf("\n该有向图是否有回路：%d\n", !ret);
	
	return 0;
}