《统计学习方法》第六章: 逻辑斯蒂回归与最大熵模型 读书笔记

一切为了数据挖掘的准备

6.逻辑斯蒂回归(logistic regression)与最大熵模型(maximum entropy model)

• 两个模型都是概率模型。在分类模型中，计算P(Y|X)
• 两个模型都属于对数线性模型
  • 在logistic regression中, $\log P(Y|X)=wx$。如果Y是多分类，不同的Y值对应不同的w参数值；属于判别模型。
  • 在最大熵模型中，$\log P(Y|X)=wf(x),$关于x的函数的线性函数，属于生成模型（即需要找到P(Y|X)和样本中X的经验分布$\tilde{P}(X)$）。

6.1二项逻辑斯蒂回归模型

逻辑斯蒂回归模型是一种分类模型，由条件概率分布$P(Y|X)$表示。回归会比较不同y值的条件概率值的大小，把概率值大的类型作为预测结果。

6.1.1 二项逻辑斯蒂回归模型的数学表示

$$\begin{array}{r}P(Y=1|X)=\frac{exp(w\cdot x+b)}{1+exp(w\cdot x+b)}\\ P(Y=0|X)=\frac{1}{1+exp(w\cdot x+b)}\end{array}$$

其中$w\in R^n,b\in R$是参数，w为权值向量，b是偏置，wx是w和x的内积。

• 或表示为:
  $$\begin{array}{r}P(Y=1|X)=\frac{exp(w\cdot x)}{1+exp(w\cdot x)}\\ P(Y=0|X)=\frac{1}{1+exp(w\cdot x)}\end{array}$$

其中$w=(w^{(1)},w^{(1)},\cdots ,w^{(n)},b),x=(x^{(1)},x^{(2)},\cdots ,x^{(n)},1)$

6.1.2 logistic regression数学表达的一种解释

• 假设$P(Y=1|X)=\pi (x)$，则$\pi (x)$取值范围为[0,1].我们希望用线性表达式$w\cdot x$来表示概率分布。
• 对$\pi (x)$做logit变换
  $$logit(\pi (x))=log\frac{\pi (x)}{1-\pi (x)}=w\cdot x$$

将取值范围为[0,1]的$\pi (x)$函数，变换为取值范围为$[-\infty ,+\infty ]$的$w\cdot x$线性函数

• 得到
  $$P(Y=1|X)=\pi (x)=\frac{exp(w\cdot x)}{1+exp(w\cdot x)}$$

• 线性函数值越接近$+\infty$，概率值越接近1； 线性函数值越接近$-\infty$，概率值越接近0

6.1.3 模型参数估计

最大似然估计：
$x_i\in R^n,y_i\in \{0,1\},P(Y=1|X)=\pi (x),P(Y=0|X)=1-\pi (x)$
$$\begin{array}{rl}l(w)& =\prod _{i=1}^N[\pi (x_i){]}^{y_i}[1-\pi (x_i){]}^{1-y_i}\\ L(w)& =\sum _{i=1}^N[y_{i}log\pi (x_i)+(1-y_i)log(1-\pi (x_i))]\\ & =\sum _{i=1}^N[y_{i}log\frac{\pi (x_i)}{1-\pi (x_i)}+log(1-\pi (x_i))]\\ & =\sum _{i=1}^N[y_i(w\cdot x_i)-log(1+exp(w\cdot x_i))]\end{array}$$

6.1.4采用梯度上升法对目标函数最优化

找函数最大值，朝梯度下降的反方向变化$w^{\prime }\leftarrow w+\eta \nabla L(w)$
$$\begin{array}{rl}L(w)& =\sum _{i=1}^N[y_i(w\cdot x_i)-log(1+exp(w\cdot x_i))]\\ & =\sum _{i=1}^N[y_i(w^T{x}_i)-log(1+exp(w^T{x}_i))]\\ \frac{\partial L(w)}{\partial w}& =\sum _{i=1}^N[y_i{x}_i-\frac{exp(w^T{x}_i)}{1+exp(w^T{x}_i)}{x}_i]\\ & =\sum _{i=1}^N(y_i-sigmoid(w^T{x}_i))x_i\end{array}$$
其中N为总样本数，$x_i$是某样本的输入向量,w是与x同型的向量。

6.2多项逻辑斯蒂回归

6.2.1数学表示

假设随机变量Y的取值集合$Y\in \{1,2,\cdots ,K\}$
$$\begin{array}{rl}P(Y=i|X)=\frac{exp(w_i\cdot x)}{1+{\sum }_{k=1}^{K-1}exp(w_k\cdot x)},& i=1,2,\cdots ,K-1\\ P(Y=K|X)=\frac{1}{1+{\sum }_{k=1}^{K-1}exp(w_k\cdot x)}& \end{array}$$

6.2.2 多项逻辑斯蒂回归数学表达的一种解释

$$logit(P(Y=i|X))=log\frac{P(Y=i|X)}{P(Y=K|X)}=log\frac{P(Y=i|X)}{1-{\sum }_{k=1}^{K-1}P(Y=k|X)}=w_i\cdot x,i=1,2,\cdots ,K-1$$
其中$w_i$是Y取值i时的权重。

推导
$$\begin{array}{rl}P(Y=i|X)& =exp(w_i\cdot x)P(Y=K|X),i=1,2,\cdots ,K-1\\ \sum _{i=1}^{K-1}P(Y=i|X)+P(Y=K|X)& =P(Y=K|X)\sum _{i=1}^{K-1}exp(w_i\cdot x)+P(Y=K|X)=1\\ P(Y=K|X)& =\frac{1}{1+{\sum }_{i=1}^{K-1}exp(w_i\cdot x)}\\ P(Y=i|X)& =\frac{exp(w_i\cdot x)}{1+{\sum }_{i=1}^{K-1}exp(w_i\cdot x)},i=1,2,\cdots ,K-1\end{array}$$

6.3最大熵模型

在自然语言处理中常用

6.3.1最大熵原理

• 最大熵原理：在学习概率模型时，在所有可能的概率模型中，熵最大的模型是最好的模型。
• 通常在满足约束条件的模型集合中选取熵最大的模型。即我们在满足已有事实的条件下，认为在没有更多信息的情况时，不确定的部分概率平均，等可能；此时数据最混乱，熵最大。
• 熵的计算：
  $$H(Y)=-\sum P(y)logP(y)$$
  当Y分布是均匀分布时，熵最大,且$H(P)=logK$,K是Y的取值个数

6.3.2最大熵模型的约束

• 先考虑模型应满足的条件：给定训练集，可以确定联合分布P(X,Y)和边缘分布P(X)的经验分布
  $$\begin{array}{rl}\tilde{P}(X=x,Y=y)& =\frac{v(X=x,Y=y)}{N}\\ \tilde{P}(X=x)& =\frac{v(X=x)}{N}\end{array}$$

其中$v()$表示训练样本中该条件出现的频数。

• 特征函数f(x,y)描述输入x和输出y之间的某个事实。
  $$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{x与y满足一事实}\\ 0,& \text{否则}\end{array}$$
  举例：单词’take’有许多意思，这些词义的集合构成Y的取值范围，另外有很多句子，构成输入变量X。那么“y=‘乘坐’，且在句子中’take’的后面有个’bus’单词“这个条件就可以构成一个特征函数。

• 特征函数f(x,y)基于经验分布$\tilde{P}(x,y)$的期望
  $$E_{\tilde{P}}(f)=\sum _{x,y}\tilde{P}(x,y)f(x,y)$$

• 特征函数f(x,y)关于模型P(Y|X)与经验分布$\tilde{P}(X)$的期望值
  $$E_P(f)=\sum _{x,y}\tilde{P}(x)P(y|x)f(x,y)$$

• 用样本集特征函数代表的信息的概率估计总体特征函数的概率，即${\sum }_{x,y}\tilde{P}(x)P(y|x)f(x,y)={\sum }_{x,y}\tilde{P}(x,y)f(x,y)$。将其作为约束条件。

• 如果有n个特征函数，就有n个约束条件。

6.3.3最大熵模型

• 设满足所有约束条件的模型集合为
  $$C\equiv \{|E_{\tilde{P}}(f_i)=E_P(f_i),i=1,2,\cdots ,n\}$$
  C就是可行域

• 在条件概率分布P(Y|X)的条件熵为
  $$H(P)=-\sum _{x,y}\tilde{P}(x)P(y|x)logP(y|x)$$

• 满足约束条件，且条件熵最大的模型为目标最大熵模型。

6.3.4最大熵模型的学习(优化问题求解)

• 原始问题
  $$\begin{array}{rl}\underset{P\in C}{\max }& H(P)=-\sum _{x,y}\tilde{P}(x)P(Y|X)logP(Y|X)\\ s.t.& E_{\tilde{P}}(f_i)=E_P(f_i),i=1,2,\cdots ,n\\ & \sum _{y}P(y|x)=1\end{array}$$

• 变形为常见优化问题
  $$\begin{array}{rl}\underset{P\in C}{\min }& -H(P)=\sum _{x,y}\tilde{P}(x)P(Y|X)logP(Y|X)\\ s.t.& E_{\tilde{P}}(f_i)-E_P(f_i)=0,i=1,2,\cdots ,n\\ & 1-\sum _{y}P(y|x)=0\end{array}$$

• 拉格朗日函数
  $$L(P,w)=-H(P)+w_0[1-\sum _{y}P(y|x)]+\sum _{i=1}^n{w}_i(E_{\tilde{P}}(f_i)-E_P(f_i))$$

• 拉格朗日函数最小最大化问题转化为对偶问题
  原始问题：
  $$\underset{P\in C}{\min }\underset{w}{\max }L(P,w)$$
  对偶问题：
  $$\underset{w}{\max }\underset{P\in C}{\min }L(P,w)$$

• $-H(P)$是凸函数，原始问题与对偶问题强对偶，解等价
  证凸函数：
  $$\begin{array}{rl}-H(P)& =\sum _{x,y}\tilde{P}(x)P(y|x)logP(y|x)\\ -H^{\prime }(P)& =\frac{\partial -H(P)}{\partial P(y|x)}=\sum _{x,y}\tilde{P}(x)[logP(y|x)+1]\\ -H^{\prime \prime }(P)& =\frac{{\partial }^2-H(P)}{{\partial }^{2}P(y|x)}=\sum _{x,y}\tilde{P}(x)\frac{1}{P(y|x)}>0\end{array}$$

• 计算KKT条件，先对目标函数求最优解,L(P,w)对P(y|x)求解
  $$\begin{array}{rl}L(P,w)& =-H(P)+w_0[1-\sum _{y}P(y|x)]+\sum _{i=1}^n{w}_i(E_{\tilde{P}}(f_i)-E_P(f_i))\\ & =\sum _{x,y}\tilde{P}(x)P(y|x)logP(y|x)+w_0[1-\sum _{y}P(y|x)]+\sum _{i=1}^n{w}_i[\sum _{x,y}\tilde{P}(x,y)f_i(x,y)-\sum _{x,y}\tilde{P}(x)P(y|x)f_i(x,y)]\\ \frac{\partial L(P,w)}{\partial P(y|x)}& =\sum _{x,y}\tilde{P}(x)[logP(y|x)+1]-\sum _y{w}_0-\sum _{x,y}\tilde{P}(x)\sum _{i=1}^n{w}_i{f}_i(x,y)\\ & =\sum _{x,y}\tilde{P}(x)[logP(y|x)+1-w_0-\sum _{i=1}^n{w}_i{f}_i(x,y)]=0\\ P(y|x)& =\frac{exp({\sum }_{i=1}^n{w}_i{f}_i(x,y))}{exp(w_0-1)}\end{array}$$

• 约束条件${\sum }_{y}P(y|x)=1$
  故$exp(w_0-1)={\sum }_{y}exp({\sum }_{i=1}^n{w}_i{f}_i(x,y))$
  $$\begin{array}{rl}{P}_w(y|x)& =\frac{1}{Z_w(x)}exp(\sum _{i=1}^n{w}_i{f}_i(x,y))\\ Z_w(x)& =\sum _{y}exp(\sum _{i=1}^n{w}_i{f}_i(x,y))\end{array}$$

• 再KKT条件，在目标函数最优解的基础上，对参数w求最优解
  $$\begin{array}{rl}L(P,w)& =\sum _{x,y}\tilde{P}(x)P(y|x)logP(y|x)+\sum _{i=1}^n{w}_i[\sum _{x,y}\tilde{P}(x,y)f_i(x,y)-\sum _{x,y}\tilde{P}(x)P(y|x)f_i(x,y)]\\ \Psi (w)& =\sum _{x,y}\tilde{P}(x)P_w(y|x)log{P}_w(y|x)+\sum _{i=1}^n{w}_i[\sum _{x,y}\tilde{P}(x,y)f_i(x,y)-\sum _{x,y}\tilde{P}(x)P_w(y|x)f_i(x,y)]\\ & =\sum _{x,y}\tilde{P}(x,y)[\sum _{i=1}^n{w}_i{f}_i(x,y)]+\sum _{x,y}\tilde{P}(x)P_w(y|x)[log{P}_w(y|x)-\sum _{i=1}^n{w}_i{f}_i(x,y)]\\ & =\sum _{x,y}\tilde{P}(x,y)[\sum _{i=1}^n{w}_i{f}_i(x,y)]-\sum _{x,y}\tilde{P}(x)P_w(y|x)log{Z}_w(x)\\ & =\sum _{x,y}\tilde{P}(x,y)[\sum _{i=1}^n{w}_i{f}_i(x,y)]-\sum _x\tilde{P}(x)log{Z}_w(x)\end{array}$$

• 可以证明此时的$L(P,w)$等价于最大熵模型（即对拉格朗日求极值时求得的目标函数$P_w(y|x)$）的极大似然估计。$L(P_w)=log{\prod }_{x,y}{P}_w(y|x{)}^{\tilde{p}(x,y)}$。即最大熵模型中的对偶函数极大化等价于极大似然估计

6.4学习中的最优化算法

二值逻辑斯蒂回归最终学习目标：
$$\max L(w)=\sum _{i=1}^N[y_i(w\cdot x_i)-log(1+exp(w\cdot x_i))]$$
最大熵模型最终学习目标：
$$\max \Psi (w)=\sum _{x,y}\tilde{P}(x,y)[\sum _{i=1}^n{w}_i{f}_i(x,y)]-\sum _x\tilde{P}(x)log{Z}_w(x)$$

6.4.1对于最大熵模型，改进的迭代尺度法

• 想要迭代w值，假设迭代后$w\leftarrow w+\delta$，且学习目标的变化量为
  $$\Psi (w+\delta )-\Psi (w)=\sum _{x,y}\tilde{P}(x,y)[\sum _{i=1}^n{\delta }_i{f}_i(x,y)]-\sum _x\tilde{P}(x)log\frac{Z_{w+\delta }(x)}{Z_w(x)}$$
  求出使变化量最大的$\delta$
• 有不等式:$-log\alpha ⩾1-\alpha ,\alpha >0$,对原式进行变换
  $$\begin{array}{rl}\Psi (w+\delta )-\Psi (w)& ⩾\sum _{x,y}\tilde{P}(x,y)[\sum _{i=1}^n{\delta }_i{f}_i(x,y)]+1-\sum _x\tilde{P}(x)\frac{Z_{w+\delta }(x)}{Z_w(x)}\\ \frac{Z_{w+\delta }(x)}{Z_w(x)}& =\frac{{\sum }_{y}exp({\sum }_{i=1}^n(w_i+{\delta }_i)f_i(x,y))}{Z_w(x)}\\ & =\frac{{\sum }_{y}exp({\sum }_{i=1}^n{w}_i{f}_i(x,y)+{\sum }_{i=1}^n{\delta }_i{f}_i(x,y))}{Z_w(x)}\\ & =\frac{{\sum }_{y}exp({\sum }_{i=1}^n{w}_i{f}_i(x,y))exp({\sum }_{i=1}^n{\delta }_i{f}_i(x,y)}{Z_w(x)}\\ & =\sum _y\frac{exp({\sum }_{i=1}^n{w}_i{f}_i(x,y))}{Z_w(x)}exp(\sum _{i=1}^n{\delta }_i{f}_i(x,y)\\ & =\sum _y{P}_w(y|x)exp(\sum _{i=1}^n{\delta }_i{f}_i(x,y)\\ \Psi (w+\delta )-\Psi (w)& ⩾\sum _{x,y}\tilde{P}(x,y)[\sum _{i=1}^n{\delta }_i{f}_i(x,y)]+1-\sum _x\tilde{P}(x)\sum _y{P}_w(y|x)exp(\sum _{i=1}^n{\delta }_i{f}_i(x,y)\\ \text{记}A(\delta |w)& =\sum _{x,y}\tilde{P}(x,y)[\sum _{i=1}^n{\delta }_i{f}_i(x,y)]+1-\sum _x\tilde{P}(x)\sum _y{P}_w(y|x)exp(\sum _{i=1}^n{\delta }_i{f}_i(x,y))\end{array}$$
  那么$A(\delta |w)$是原式的下界，求使下界最大的$\delta$解。由于想要用$A(\delta |w)$对$\delta$求导，但式中带有的$exp({\sum }_{i=1}^n{\delta }_i{f}_i(x,y))$求导后仍然存在，因此利用已知不等式对$A(\delta |w)$变换。
• 对于凸函数$\psi$，有权重$a_i,\sum a_i=1$，则$\psi (\sum a_i{x}_i)⩽\sum a_i\psi (x_i)$.对$A(\delta |w)$变换
  $$\begin{array}{rl}A(\delta |w)& ⩾\sum _{x,y}\tilde{P}(x,y)[\sum _{i=1}^n{\delta }_i{f}_i(x,y)]+1-\sum _x\tilde{P}(x)\sum _y{P}_w(y|x)\sum _{i=1}^n\frac{f_i(x,y)}{{\sum }_{i=1}^n{f}_i(x,y)}exp({\delta }_i\sum _{i=1}^n{f}_i(x,y))\\ \text{另}B(\delta |w)& =\sum _{x,y}\tilde{P}(x,y)[\sum _{i=1}^n{\delta }_i{f}_i(x,y)]+1-\sum _x\tilde{P}(x)\sum _y{P}_w(y|x)\sum _{i=1}^n\frac{f_i(x,y)}{{\sum }_{i=1}^n{f}_i(x,y)}exp({\delta }_i\sum _{i=1}^n{f}_i(x,y))\\ & \Psi (w+\delta )-\Psi (w)⩾B(\delta |w)\end{array}$$
  对新的下界$B(\delta |w)$求偏导
  $$\begin{array}{r}\frac{\partial B(\delta |w)}{\partial {\delta }_i}=\sum _{x,y}\tilde{P}(x,y)f_i(x,y)-\sum _x\tilde{P}(x)\sum _y{P}_w(y|x)exp({\delta }_i\sum _{i=1}^n{f}_i(x,y))f_i(x,y)=0\end{array}$$
  可求到${\delta }_i$
• 如果${\delta }_i$没有显式表达式，可以通过牛顿迭代求得解
  若$g(\delta )=0$是方程，通过${\delta }^{(k+1)}={\delta }^{(k)}-\frac{g({\delta }^{(k)})}{g^{\prime }({\delta }^{(k)})}$迭代求$\delta$解

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6.5我的logistic实现

import numpy as np
class LogisticRegression:
    def __init__(self,X,Y):
        self.X=X
        self.Y=Y
        self.w=self.training(X,Y)
    
    def training(self,X,Y,n=200,eta=0.01):
        """
        输入X,Y都是list类型，返回w为np.array类型
        输入训练数据，训练数据的分类结果,总迭代次数n,WX =  wx +b
        """
        #将输入变量x的每个数据x=(x0,x1,...,xn,1)
        [x.append(1) for x in X]
        matX = np.mat(X)
        #标签数据Y变为列向量
        matY = np.mat(Y).reshape((len(Y),1))
        #w与输入x同型，列向量
        w = np.ones((matX.shape[1],1))
        matw=np.mat(w)
        #迭代n次，w变化值 eta*(sum[yi-sigmoid(wTxi)]xi)
        for i in range(n):
            matw += eta* matX.T*(matY-self.sigmoid(matX,matw))
        return matw
    
    def sigmoid(self,x,w):
        """
        输入x,w都是np.mat类型
        """
        return 1.0/(1+np.exp(-x*w))
    
    def predict(self,x):
        x.append(1)
        x = np.mat(x)
        p = self.sigmoid(x,self.w)
        if p > 0.5:
            return 1
        else:
            return 0

X=[[3,3,3],[4,3,2],[2,1,2],[1,1,1],[-1,0,1],[2,-2,1]]
Y=[1,1,1,0,0,0]
lr = LogisticRegression(X,Y)
x=[1,2,-2]
lr.predict(x)