LMS算法

 1.LMS算法在自适应滤波器中的应用

       LMS(Least mean square)算法，即最小均方误差算法。由美国斯坦福大学的B Widrow和M E Hoff于1960年在研究自适应理论时提出，由于其容易实现而很快得到了广泛应用，成为自适应滤波的标准算法。

在移动通信环境中，多径传播效应和频率选择性衰落会导致传输信号失真。失真主要表现为码间干扰,码间干扰是降低数字通信系统性能的一个主要因素。在这样的信道条件下设计实际的数字通信系统以高速传输数据时，往往不能获得足够准确的信道频率响应用于调制和解调器的最佳滤波器的设计。这是因为在每次通信时信道的路由不同,对于这样的信道，要设计最佳固定解调滤波器是不可能的。在这样的情况下，应该采取信道均衡的方式以减小失真。

信道均衡是通信技术和信号处理的基本问题之一，其目的在于克服传送的符号码和符号码之间的相互干扰，这种干扰是因为信道的非理想特性造成的。由于通信信道可能是未知和变化的，就需要自适应的调整均衡器，使得整个传输系统输出的符号码和符号码之间的干扰被消除。信道均衡可以利用发送的训练信号来开始，这称为自动均衡。

在设计自适应均衡器的多种方法中，最小均方自适应算法（LMS）采用梯度搜索法，这使收敛到最优解远比其他算法快，而且该算法原理简单，实施容易，所以目前这一算法已广泛用于计算自适应滤波器的权系数。 

2.LMS算法原理（以设计自适应滤波器为例）   

自适应滤波器除了包括一个按照某种结构设计的滤波器，还有一套自适应的算法。自适应算法是根据某种判断来设计的。自适应滤波器的算法主要是以各种判据条件作为推算基础的。通常有两种判据条件：最小均方误差判据和最小二乘法判据。LMS算法是以最小均方误差为判据的最典型的算法，也是应用最广泛的一种算法。
    最小均方误差(Least Mean Square，LMS)算法是一种易于实现、性能稳健、应用广泛的算法。所有的滤波器系数调整算法都是设法使y(n)接近d(n)，所不同的只是对于这种接近的评价标准不同。LMS算法的目标是通过调整系数，使输出误差序列e(n)=d(n)-y(n)的均方值最小化，并且根据这个判据来修改权系数，该算法因此而得名。误差序列的均方值又叫“均方误差”(Mean Sqluare Error，MSE)，它的公式公式1所示，其中R表示正确的预期结果，C表示当前计算结果。这个便是LMS算法中的核心公式。

    （1）
    理想信号d(n)与滤波器输出y(n)之差e(n)的期望值最小，并且根据这个判据来修改权系数wi(n)。由此产生的算法称为LMS。均方误差ε表示如公式2所示：

   （2））
    对于横向结构的滤波器，代入y(n)的表达式如公式3：

    （3）
     其中：R=E[X(n)XT(n)]为N×N的自相关矩阵，它是输入信号采样值间的相关性矩阵。P=E[d(n)X(n)]为N×1互相关矢量，代表理想信号d(n)与输入矢量的相关性。在均方误差ε达到最小时，得到最佳权系数。

3.LMS算法设计思路（以自适应滤波器为例）

   最小均方误差，是以滤波器 n 时刻的输出 y( n) 与期望响应 d( n) 的均方误差为代价函数，并使此代价函数最小的准则。最广泛使用的自适应算法形式为“下降算法”。如公式4所示：

       （4）

  其中: x( n) 是 n 时刻的输入信号; y( n) 是自适应滤波器的输出; d( n) 为期望信号; e( n) 为 n 时刻期望信号 d( n) 与输出信号 y( n) 的差值; w( n) 为n 时刻滤波器的系数; μ 为自适应迭代步长; μ 的大小决定着系统的稳定性和收敛速度。