最大熵和概率分布

概率论

我们需要描述一组数据时候，本质上需要描述每一个点。但是如果我们可以用分布去表示这些数据，就只需要均值或者方差分布参数，大大节省了存储空间。

离散型随机分布

伯努利分布：一次实验，结果只有两种结果。$p(k)=p^k(1-p{)}^{(1-k)},k\in \{0,1\}$ ，期望：$p$，方差：$p(1-p)$

二项分布：n次伯努利实验正好得到k次成功的概率，单次成功的概率为p。当n=1的时候退化到伯努利分布。当p=0.5的时候，整体上和正态分布图形类似。$p(k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$，期望：$np$，方差：$np(1-p)$

几何分布：进行n次伯努利实验，在获取成功前需要进行多少次实验。分布图形是越往前概率越大，$p(k)=(1-p{)}^{k-1}p$, 期望$\frac{1}{p}$, 方差是$\frac{(1-p)}{p^k}$

泊松分布：单位时间内独立事件发生次数的概率分布，它是二项分布n很大而p很小时的极限。泊松分布可以把单位时间切成n次，每次成功的概率为p，那么单位时间内出现k次的概率就是二项分布，所以泊松分布是二项分布的一种极限形式。它的分布图形也和二项分布类似，特别是n很大而p很小时。$p(k)=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}$, 期望和方差都是$\lambda$,其中k是发生的次数，$\lambda$是发生的平均次数，当$\lambda >=20$时，泊松分布趋向于正态分布。

指数分布：对应于泊松分布，指数分布是指两次独立事件发生的时间间隔的概率分布。
$p(k)=\lambda e^{-\lambda k}$，其中$\lambda$是指单位时间内独立事件发生的次数。期望=$\frac{1}{\lambda }$，方差=$\frac{1}{{\lambda }^2}$

负二项分布：在一连串伯努利实验中，恰好在第r+k次实验出现第r次成功的概率。换句话说，是指出现第r次成功时所需要的总实验次数的概率分布。
$p(k,r,p)=C_{r+k-1}^{r-1}{p}^r(1-p{)}^k$，期望$E(k)=\frac{k(1-p)}{p}$, 方差$D(k)=\frac{k(1-p)}{p^2}$

多项分布：二项分布的扩展。

连续型随机分布

均匀分布：$p(x)=\frac{1}{b-a}$，期望$\frac{b-a}{2}$， 方差$\frac{(b-a{)}^2}{12}$

正态分布：$p(x)=N(\mu ,\sigma )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$，期望$\mu$，方差$\sigma$。

指数分布：可以扩展到连续随机变量，仍然代表两次独立事件发生的事件间隔（实数）。公式和上面一致。

最大熵

那么以上的概率分布是如何来的呢？最大熵理论提供了一种解释的方法，概率分布是满足一定约束条件下的最大熵概率分布。对于一个随机变量来说，如果没有任何约束，我们大概率倾向于该随机变量符合均匀分布。对应到现实中，如果没有任何前提条件，我们认为事件发生的概率是相同的。比如骰子，我们会默认每一面的概率是1/6。最大熵概率分布满足一下条件：
$$mathma{x}_{p}H(p)=-{\int }_{y}p(y)logp(y)dy,st.{\int }_{y}p(y)=1,p(y)>=0,{\int }_{y}p(y)\ast f_i(y)dy=a_i$$
其中ai是预先定好的约束条件，比如均值、方差。 使用拉格朗日乘子得到：

$$mathL(p,\mu ,\lambda )={\int }_{y}p(y)logp(y)dy-{\mu }_{0}p(y)+{\mu }_1({\int }_{y}p(y)-1)+\sum _i{\lambda }_i({\int }_{y}p(y)\ast f_i(y)dy-a_i)$$
其中$\mu ,\lambda$都为正数，解为：
$$math{p}^{\ast }=mi{n}_{p}ma{x}_{\mu ,\lambda }L=ma{x}_{\mu ,\lambda }mi{n}_{p}L$$
假设y值固定在某个确定的值，对p求偏导：
$$math\frac{\partial L}{\partial p}=logp+\frac{1}{ln2}-{\mu }_0+{\mu }_1+\sum _i{\lambda }_i{f}_i(y)=0$$
等式两边乘以ln2，对logp进行换底：

$$mathlnp+1-{\mu }_0+{\mu }_1+\sum _i{\lambda }_i{f}_i(y)=0$$
得到解p*：
$$math{p}^{\ast }(y)=e^{-1+{\mu }_0-{\mu }_1-{\sum }_i{\lambda }_i{f}_i(y)}=c\ast e^{-{\sum }_i{\lambda }_i{f}_i(y)}$$

伯努利分布推导

约束条件：
$$mathf(y)=y\to {\int }_{y}p(y)\ast y=\mu ,y\in \{0,1\}$$
其中$\mu$代表事件成功的概率，也是伯努利分布的期望值，得到$c\ast e^{-\lambda }=\mu$
同时：$p(0)+p(1)=1\to c+c{e}^{-\lambda }=1$
由以上两式得到：$c=1-\mu ,\lambda =-ln\frac{\mu }{1-\mu }$
综合以上：$p(y)=(1-\mu )\ast (\frac{\mu }{1-\mu }{)}^y=(1-\mu {)}^{1-y}{\mu }^y$, 我们就得到了伯努利分布的公式，伯努利分布是在约束期望值下的最大熵概率分布。

正态分布推导

约束条件：均值和方差

其他分布的约束条件

其他概念

概率分布函数，条件概率，联合概率， 独立分布，条件独立，熵， 交
叉熵、条件熵、KL散度