快速幂（例题：BZOJ1008）

在进行幂运算时一个一个乘需要耗费大量时间可以用一种类似二分的算法来快速运算，这就是快速幂。

比如求x^n，n为偶数，x^n=(x^2)^(n/2)，n为奇数，x^n=(x^2)^(n/2)*x;不停地分下去，知道n为0时停止。

#include 
typedef long long ll;
using namespace std;

ll mod_pow(ll x,ll n)
{
	ll ans=1;
	while (n)
	{
		if (n&1) ans=ans*x; //判断n是否为奇数,奇数乘上x
		x*=x;               //将x平方 
		n>>=1;		    //将n除以2 
	}
	return ans;
}

int main()
{
	cout << mod_pow(2,22) << endl;	//求2的22次方 
	return 0;
}

在之前的基础上对一个数取余，只需每次运算时都取余即可（同余定理）。

#include 
#define MOD 100000007 //MOD为取余的数字
typedef long long ll;
using namespace std;

ll mod_pow(ll x,ll n)
{
	ll ans=1;
	while (n)
	{
		if (n&1) ans=(ans*x)%MOD; //判断n是否为奇数,奇数乘上x
		x=(x*x)%MOD;              //将x平方
		n>>=1;				//将n除以2
	}
	return ans;
}

int main()
{
	cout << mod_pow(2,22) << endl;	//求2的22次方
	return 0;
}

例题：

 

1008: [HNOI2008]越狱

Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 162 MB
Submit: 11574  Solved: 5025
[Submit][Status][Discuss]

Description

　　监狱有连续编号为1...N的N个房间，每个房间关押一个犯人，有M种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果
相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱

Input

　　输入两个整数M，N.1<=M<=10^8,1<=N<=10^12

Output

　　可能越狱的状态数，模100003取余

Sample Input

2 3

Sample Output

6

HINT

 

　　6种状态为(000)(001)(011)(100)(110)(111)

 

Source

BZOJ1008

可以从反面考虑，用总的状态减去不能越狱的状态数就是结果。总的状态为m^n，不能越狱的状态数为m*(m-1)^(n-1)。

在计算时要用到快速幂。

#include 
#define MOD 100003
typedef long long ll;
using namespace std;

ll mod_pow(ll x,ll n) //求x的n次方
{
	ll ans=1;
	while (n)
	{
		if (n&1) ans=(ans*x)%MOD; //判断n是否为奇数,奇数乘上x
		x=(x*x)%MOD;              //将x平方
		n>>=1;				//将n除以2
	}
	return ans;
}

int main()
{
	ll m,n,ans;
	cin >> m >> n;
	ans=(mod_pow(m,n)-(m*mod_pow(m-1,n-1))%MOD)%MOD;
	if (ans<0) ans+=MOD;  //注意有可能会出现负数，一开始在这里WA了
	cout << ans << endl;
	return 0;
}