【总结】数论素数筛之 线筛、埃筛

什么是素数

质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数。

一、朴素筛法

根据素数的定义而每个数都进行一次$2到(i-1)$的$Mod$，如果被整除则不是质数。

代码

bool Prime(int a){
	for(int i=2;i<a;i++){
		if(a%i==0){
			return false;
		}
	}
	return true;
}

优化

这个朴素判断质数中还可以进行优化，使代码的时间复杂度减少很多。
对于每个小于$根号i$的因数，一定有一个大于$根号i$的因数与之配对，使得两个数的积为$i$，因此，在我们枚举$i$的因数时，只需要枚举$<=根号i$的值即可。

代码

bool Prime(int a){
	for(int i=2;i<=sqrt(a);i++){
		if(a%i==0){
			return false;
		}
	}
	return true;
}

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好戏真正开始

二、埃氏筛法（简称埃筛）

总而言之，就如下图一般，只要发现$flag[i]!=true$，就将它的倍数全部置为$true$。

代码

const int M=10005;
bool flag[M];
int pre[M];//用这个数组来保存1~n的所有质数
void Prime_Ai(int n){
	int k=0;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!flag[i]){
			k++;
			pre[k]=i;
			for(int j=i*2;j<n;j+=i){
				flag[j]=true;
			}
		}
	}
}

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三、欧拉筛法（简称线筛）

简而言之，就是避免重复置为$true$而增加时间复杂度，所以有了线筛。
线筛就是利用$pre[M]$里的质数来避免上述问题。

代码

const int M=1005;
bool flag[M];
int pre[M];
void Prime_xian(int n){
	int k=0;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!flag[i]){
			pre[++k]=i;
		}
		for(int j=1;j<=k&&pre[j]*i<=n;j++){
			flag[pre[j]*i]=1;
			if(i%pre[j]==0)
				break;
		}
	}
}