约瑟夫环各种实现方法的总结

约瑟夫问题

约瑟夫问题（有时也称为约瑟夫斯置换，是一个出现在计算机科学和数学中的问题。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。又称“丢手绢问题”.）

一般形式

N 个人围成一圈，从第一个开始报数，第 M 个将淘汰，退出圈外，重复上述过程 n - 1 次，最后剩下一个，最后留下来的人获胜。求出最后获胜者的编号。
例如 N = 6 ， M = 4 ，被杀掉的顺序是： 4 ， 2 ， 1 ， 3 ， 6 ， 5
获胜者便是 5 。

最初的方法

用数组模拟链表，模拟整个淘汰过程。

Solution1.0

int work(int n,int m)
{
    int now=1,last=n;
    fo(i,1,n)next[i]=i+1;
    next[n]=1;
    fo(i,1,n-1){
        fo(l,1,m-1)last=now,now=next[now];
        next[last]=next[now]; now=next[now]; 
    }
    return now;
}

O(n)的方法

将编号换成 0 ~ i - 1 ,设 fi 表示环大小为 i 时获胜者的编号。
考虑将第一个人淘汰后(可以推出此人的编号为 m % i )，便剩下了 i - 1 个人，此时下一轮第一个叫号的人为 m % i 后一个人，因此我们便可以从 fi−1 转移到 fi ，再加上前 m % i 个人即可。
转移方程式(仔细想一下就可以推出来了

Solution2.0

f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;//(i>1)

终极方法

如果n特别大怎么办，这时就需要一个与m相关的复杂度的方法。
设 g ( n , k )为环大小为 n ，每叫 k 个人便淘汰一人的答案。
当 n 很大的时候，可以一次过把第 k , 2k , 3k …… ⌊nk⌋ * k ，一次淘汰掉 ⌊nk⌋ 个人，推算一下，便可以得到以下递推式。

Solution3.0