整数划分

                        

整数划分问题是算法中的一个经典命题之一，有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都将涉及。所谓整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：

       n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。

       如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);

       例如但n=4时，他有5个划分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};

       注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。

       该问题是求出n的所有划分个数，即f(n, n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法;

 

        ---------------------------------------------------------------------

                                           （一）递归法

        ---------------------------------------------------------------------

       根据n和m的关系，考虑以下几种情况： 

       （1）当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};

        (2)  当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1};

        (3)  当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

              (a). 划分中包含n的情况，只有一个即{n}；

              (b). 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。

              因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);

        (4) 当n

        (5) 但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：

               (a). 划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分

                     个数为f(n-m, m);

               (b). 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);

              因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

 

         综合以上情况，我们可以看出，上面的结论具有递归定义特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，将会转换为情况（5）。而情况（5）为通用情况，属于递推的方法，其本质主要是通过减小m以达到回归条件，从而解决问题。其递推表达式如下：

         f(n, m)=       1;                                (n=1 or m=1)

                            f(n, n);                         (n

                            1+ f(n, m-1);                (n=m)

                            f(n-m,m)+f(n,m-1);       (n>m)

 
linux@ubuntu:~/workdir/ACM-ICPC$ cat IntDivide.c
#include

int IntDivide(int n, int m)
{
        if((n<1)||(m<1))
                return 0;
        if((n==1)||(m==1))
                return 1;
        if(n
                return IntDivide(n,n);
        if(n==m)
                return IntDivide(n,n-1)+1;
        return IntDivide(n-m,m)+IntDivide(n,m-1);
}

int main()
{
        int n=0,m=0;
        int result=0;

        scanf("%d %d",&n,&m);

        result = IntDivide(n,m);

        printf("%d\n",result);

        return 0;
}
linux@ubuntu:~/workdir/ACM-ICPC$ cat IntDivide.c
#include 

int IntDivide(int n, int m)
{
        if((n<1)||(m<1))
                return 0;
        if((n==1)||(m==1))
                return 1;
        if(n