对角化和A 的幂

给定矩阵A，假设A有n个线性无关特征向量，按列组成矩阵S，所以这个S很自然地称为特征向量矩阵，并且

 

其中   称为特征值矩阵，由于S中是n个线性无关特征向量，因此S可逆，所以可对上式两边同时左乘S的逆，得到   ，如果右乘S的逆，则有   ，这是一种新的矩阵分解形式，前面在消元法中曾经介绍过LU分解，这是与LU分解等价的另一种分解。前面的文章中我们曾经推导过A²的特征值和特征向量，即   ，结论是A²的特征值是 ，而特征向量保持不变，同样我们可从公式 推导出同样的结论，   ，这个式子以矩阵的形式给出了上面得到的结论：矩阵平方的特征值也变成了平方，而特征向量不变。对矩阵进行特征值、特征向量分解为我们提供了另一种深入了解矩阵的方法，刚刚求解特征值和特征向量对于平方成立，当然可以继续下去得到A的k次方也成立，即   ，这说明A的k次方的特征向量跟A的特征向量相同，但特征值变成了A的特征值的k次方。从上面的例子中可看出，矩阵的对角化为我们提供了理解矩阵幂的好方法，如果将矩阵平方，或者取100次方，主元任意分布，用原来的LU分解然后LU乘LU乘100次，根本就无法往下做，但是当自乘   时，其中有99个   可以消去，最终得到   ，所以特征值是计算矩阵幂的一种方法。

转载自： https://blog.csdn.net/xdfyoga1/article/details/37996291