线性代数学习笔记（二十八）——齐次方程组的解
本篇笔记通过回顾线性方程组解的判定，引出并讨论了齐次线性方程组解的情况；然后通过上一章节的定理总结出几个推论并做了一定的讨论；最后通过求齐次线性方程组的例子来判断向量组的相关性，同时求解一组相关系数。
1 回顾
前面讨论的线性方程组，其矩阵方程形式为 A X = B AX=B AX=B或向量方程形式为 x 1 α 1 + x 2 α 2 + ⋯ + x n α n = β x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=\beta x1α1+x2α2+⋯+xnαn=β，该方程组有解的判定为，
{ r ( A ) = r ( A ‾ ) 有 解 { = n 有 唯 一 解 < n 有 无 穷 多 解 r ( A ) ≠ r ( A ‾ ) 无 解 \begin{cases}r(A)=r(\overline{A})&有解\begin{cases}=n&有唯一解\\
2 齐次线性方程组
常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，如
{ x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 − x 2 − x 3 = 0 2 x 1 + 4 x 3 = 0 \begin{cases}x_1&+x_2&+x_3=0\\x_1&-x_2&-x_3=0\\2x_1&&+4x_3=0\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x1x12x1+x2−x2+x3=0−x3=0+4x3=0
因为 x 1 = 0 , x 2 = 0 , ⋯ , x n = 0 x_1=0,x_2=0,\cdots,x_n=0 x1=0,x2=0,⋯,xn=0恒成立，
所以，齐次线性方程组一定有解，至少有零解。
从方程组有解的判定来看，其系数矩阵，
A = [ 1 1 1 1 − 1 − 1 2 0 4 ] A=\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&-1&-1\\2&0&4\end{array}\right] A=⎣⎡1121−101−14⎦⎤，
所以， r ( A ) = 3 r(A)=3 r(A)=3，
而其增广矩阵，
A ‾ = [ 1 1 1 0 1 − 1 − 1 0 2 0 4 0 ] {\overline{A}=}\left[\begin{array}{ccc:c}1&1&1&0\\1&-1&-1&0\\2&0&4&0\end{array}\right] A=⎣⎡1121−101−14000⎦⎤，
所以， r ( A ‾ ) = 3 r(\overline{A})=3 r(A)=3，
故， r ( A ) = r ( A ‾ ) r(A)=r(\overline{A}) r(A)=r(A)，即齐次线性方程组一定有解。
其实，增广矩阵相比系数矩阵而言，相当于多增加了一列零，
但并未改变“非零子式的最高阶数”，所以矩阵的秩并没有改变。
3 相关推论
对于齐次线性方程组，我的关心的是它的零解和非零解。
通过上一章节的定理得到以下推论：
注：以下 m m m表示方程个数， n n n表示未知量个数，
① 仅有零解 ⟺ r ( A ) = n {\Longleftrightarrow}r(A)=n ⟺r(A)=n；
② 有非零解 ⟺ r ( A ) < n {\Longleftrightarrow}r(A)
③ m < n ⟹ m
因为 r ( A ) = m i n ( m , n ) = m < n r(A)=min(m,n)=m
例如， { x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 − x 2 − x 3 = 0 \begin{cases}x_1+x_2+x_3=0\\x_1-x_2-x_3=0\end{cases} {x1+x2+x3=0x1−x2−x3=0，一定有非零解。
将上述方程组写成向量形式，
x 1 ( 1 1 ) + x 2 ( 1 − 1 ) + x 3 ( 1 − 1 ) = O x_1\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=O x1(11)+x2(1−1)+x3(1−1)=O，
即， x 1 α 1 + x 2 α 2 + x 3 α 3 = O x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3=O x1α1+x2α2+x3α3=O，
因为上述齐次线性方程组有非零解，也就是说 x 1 , x 2 , x 3 x_1,x_2,x_3 x1,x2,x3不全为 0 0 0，
那说明向量组 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α1,α2,α3线性相关，
也即是齐次线性方程组有非零解，对应于向量组线性相关。
我们在之前的章节（线性代数学习笔记（二十三）——线性相关线性无关 推论3.2.1）讨论过，一个向量组，当向量的个数大于向量的维数时，该向量组一定线性相关。
特别地， n + 1 n+1 n+1个 n n n维向量一定线性相关。
上述向量组是 3 3 3个 2 2 2维向量，所以一定线性相关，即相关系数不全为 0 0 0，故上述齐次线性方程组有非零解。
④ m = n m=n m=n有非零解 ⟺ ∣ A ∣ = 0 \Longleftrightarrow|A|=0 ⟺∣A∣=0。
根据②可知，有非零解，所以 r ( A ) < n r(A)
即说明“非零子式最高阶数”取不到 n n n，
所以 ∣ A ∣ = 0 |A|=0 ∣A∣=0。
反过来，其实， m = n m=n m=n仅有零解 ⟺ ∣ A ∣ ≠ 0 \Longleftrightarrow|A|{\neq}0 ⟺∣A∣=0，
因为根据①可知，有零解，所以 r ( A ) = n r(A)=n r(A)=n，
即“非零子式最高阶数”为 n n n，
所以 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|{\neq}0 ∣A∣=0。
由 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|{\neq}0 ∣A∣=0，还可以推出 A A A可逆，
那么齐次线性方程组的矩阵方程形式， A X = O AX=O AX=O两边左乘 A − 1 A^{-1} A−1得，
A − 1 A X = A − 1 O {\color{red}{A^{-1}}}AX={\color{red}{A^{-1}}}O A−1AX=A−1O，
X = O X=O X=O。
反之，如果 ∣ A ∣ = 0 |A|=0 ∣A∣=0，那么 r ( A ) < n r(A)
4 举例
下面向量组是否线性相关？若线性相关，试求一组相关系数。
α 1 = ( 1 , 3 , 0 , 5 ) , α 2 = ( 1 , 2 , 1 , 4 ) , α 3 = ( 1 , 1 , 2 , 3 ) , α 4 = ( 2 , 5 , 1 , 9 ) , α 5 = ( 1 , − 3 , 6 , − 1 ) \alpha_1=(1,3,0,5),\alpha_2=(1,2,1,4),\alpha_3=(1,1,2,3),\alpha_4=(2,5,1,9),\alpha_5=(1,-3,6,-1) α1=(1,3,0,5),α2=(1,2,1,4),α3=(1,1,2,3),α4=(2,5,1,9),α5=(1,−3,6,−1)。
解：假设存在一组相关系数 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 x1,x2,x3,x4,x5使得，
x 1 α 1 + x 2 α 2 + x 3 α 3 + x 4 α 4 + x 5 α 5 = O x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3+x_4\alpha_4+x_5\alpha_5=O x1α1+x2α2+x3α3+x4α4+x5α5=O，
即， x 1 ( 1 3 0 5 ) + x 2 ( 1 2 1 4 ) + x 3 ( 1 1 2 3 ) + x 4 ( 2 5 1 9 ) + x 5 ( 1 − 3 6 − 1 ) = O x_1\begin{pmatrix}1\\3\\0\\5\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}1\\2\\1\\4\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}1\\1\\2\\3\end{pmatrix}+x_4\begin{pmatrix}2\\5\\1\\9\end{pmatrix}+x_5\begin{pmatrix}1\\-3\\6\\-1\end{pmatrix}=O x1⎝⎜⎜⎛1305⎠⎟⎟⎞+x2⎝⎜⎜⎛1214⎠⎟⎟⎞+x3⎝⎜⎜⎛1123⎠⎟⎟⎞+x4⎝⎜⎜⎛2519⎠⎟⎟⎞+x5⎝⎜⎜⎛1−36−1⎠⎟⎟⎞=O，
所以， { x 1 + x 2 + x 3 + 2 x 4 + x 5 = 0 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + 5 x 4 − 3 x 5 = 0 x 2 + 2 x 3 + x 4 + 6 x 5 = 0 5 x 1 + 4 x 2 + 3 x 3 + 9 x 4 − x 5 = 0 \begin{cases}x_1&+&x_2&+&x_3&+&2x_4&+&x_5&=&0\\3x_1&+&2x_2&+&x_3&+&5x_4&-&3x_5&=&0\\&&x_2&+&2x_3&+&x_4&+&6x_5&=&0\\5x_1&+&4x_2&+&3x_3&+&9x_4&-&x_5&=&0\end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x13x15x1+++x22x2x24x2++++x3x32x33x3++++2x45x4x49x4+−+−x53x56x5x5====0000，
上述方程组为齐次线性方程组，方程个数为 4 4 4，未知量个数为 5 5 5，
因为 4 < 5 4<5 4<5，根据上述推论③可知，该方程组有非零解，
方程组系数矩阵， A = [ 1 1 1 2 1 3 2 1 5 − 3 0 1 2 1 6 5 4 3 9 − 1 ] A=\begin{bmatrix}1&1&1&2&1\\3&2&1&5&-3\\0&1&2&1&6\\5&4&3&9&-1\end{bmatrix} A=⎣⎢⎢⎡13051214112325191−36−1⎦⎥⎥⎤，
→ 只 做 初 等 行 变 换 化 为 行 简 化 阶 梯 型 [ 1 0 − 1 1 − 5 0 1 2 1 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] \xrightarrow{只做初等行变换化为行简化阶梯型}\begin{bmatrix}1&0&-1&1&-5\\0&1&2&1&6\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{bmatrix} 只做初等行变换化为行简化阶梯型⎣⎢⎢⎡10000100−12001100−5600⎦⎥⎥⎤，
其同解方程组， { x 1 = x 3 − x 4 + 5 x 5 x 2 = − 2 x 3 − x 4 − 6 x 5 \begin{cases}x_1=x_3-x_4+5x_5\\x_2=-2x_3-x_4-6x_5\end{cases} {x1=x3−x4+5x5x2=−2x3−x4−6x5，
其中 x 3 , x 4 , x 5 x_3,x_4,x_5 x3,x4,x5为任意常数，显示，上面任一非零解都是原向量的相关系数，
假设取 x 1 = x 2 = x 3 = 1 x_1=x_2=x_3=1 x1=x2=x3=1，则 x 1 = 5 , x 2 = − 9 x_1=5,x_2=-9 x1=5,x2=−9，既有
5 ⋅ x 1 − 9 ⋅ x 2 + 1 ⋅ x 3 + 1 ⋅ x 4 + 1 ⋅ x 5 = O 5{\cdotp}x_1-9{\cdotp}x_2+1{\cdotp}x_3+1{\cdotp}x_4+1{\cdotp}x_5=O 5⋅x1−9⋅x2+1⋅x3+1⋅x4+1⋅x5=O。
5 引用
《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_4.3 齐次方程组的解