CodeForces - 1307D Cow and Fields 最短路

CodeForces - 1307D Cow and Fields 最短路

题意: 给出n个点m条边的连通图,给出k个关键点的编号,以两个关键点连边,问从1到n的最短路最大是多少

现假设:
d 1 [ i ] d1[i] d1[i]表示从1到i的最短距离
d 2 [ i ] d2[i] d2[i]表示从n到i的最短距离
做法:分两种情况:
1.这两个关键点,如果对原来的最短路没有影响,则 a n s = d 1 [ n ] ans=d1[n] ans=d1[n];

2.这两个关键点,如果对原来的最短路有影响,则 a n s = m i n ( d 1 [ i ] + 1 + d 2 [ j ] , d 1 [ j ] + 1 + d 2 [ i ] ) ans=min(d1[i]+1+d2[j],d1[j]+1+d2[i]) ans=min(d1[i]+1+d2[j],d1[j]+1+d2[i]);但是如果暴力枚举 ( i , j ) (i,j) (i,j),复杂度是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2),显然超时,所以得进行优化

d 1 [ i ] + 1 + d 2 [ j ] < d 1 [ j ] + 1 + d 2 [ i ] d1[i]+1+d2[j]d1[i]+1+d2[j]<d1[j]+1+d2[i],进行简化得: d 1 [ i ] − d 2 [ i ] < d 1 [ j ] − d 2 [ j ] d1[i]-d2[i]d1[i]d2[i]<d1[j]d2[j],也就是说,令 F [ x ] = d 1 [ x ] − d 2 [ x ] F[x]=d1[x]-d2[x] F[x]=d1[x]d2[x],给出两个关键点 i , j i,j i,j优先选择 F [ x ] F[x] F[x]小的那个

[ 1 , k ] [1,k] [1,k]个关键点按 F [ x ] F[x] F[x]从小到大排序,那么距离就变成了 d 1 [ i ] + 1 + d 2 [ j ] d1[i]+1+d2[j] d1[i]+1+d2[j],对 [ 1 , k ] [1,k] [1,k]进行一遍循环,在位置=pos的情况下, 1 + d 2 [ j ] = 1 + d 2 [ p o s ] 1+d2[j]=1+d2[pos] 1+d2[j]=1+d2[pos]是一个确定的值,只需要在 [ 1 , p o s − 1 ] [1,pos-1] [1,pos1]的位置上找到 d 1 [ ] d1[] d1[]的最大值,方法就是一直记录即可

注意:不要忘记了第一种情况,最后对ans进行判断

最短路是用优化后的dijkstra跑的,所以最后复杂度是 O ( m l o g ( m ) + k ) O(mlog(m)+k) O(mlog(m)+k)
代码

#include
#define rep(x,a,b) for (int x=a;x<=b;x++)
#define W(x) printf("%d\n",x)
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof a)
using namespace std;
const int maxn=2e6+7;
const int INF=1e7;
struct qnode
{
    int v;
    int c;
    qnode(int _v=0,int _c=0):v(_v),c(_c){}
    bool operator< (const qnode &r)const{
        return c>r.c;
    }
};
struct node
{
    int id,x;
}p[maxn];
bool cmp(node a,node b)
{
    return a.x<b.x;
}
struct Edge
{
    int v,cost,next;
}edge[maxn];
int tol,d[maxn],head[maxn],d1[maxn],d2[maxn],u,v,n,m,k,a[maxn],maxx,ans=0;
bool vis[maxn];
void dijkstra(int sx1,int sx2)
{
    mem(vis,false);
    rep(i,1,n)d1[i]=INF,d2[i]=INF;
    priority_queue<qnode> q;
    d1[sx1]=0;q.push(qnode(sx1,0));
    qnode tmp;
    while(!q.empty())
    {
        tmp=q.top();
        q.pop();
        int u=tmp.v;
        if (vis[u])continue;
        vis[u]=true;
        for (int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
        {
            int v=edge[i].v;
            int cost=edge[i].cost;
            if (!vis[v]&&d1[v]>d1[u]+cost)
            {
                d1[v]=d1[u]+cost;
                q.push(qnode(v,d1[v]));
            }
        }
    }
    mem(vis,false);
    d2[sx2]=0;q.push(qnode(sx2,0));
    while(!q.empty())
    {
        tmp=q.top();
        q.pop();
        int u=tmp.v;
        if (vis[u])continue;
        vis[u]=true;
        for (int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
        {
            int v=edge[i].v;
            int cost=edge[i].cost;
            if (!vis[v]&&d2[v]>d2[u]+cost)
            {
                d2[v]=d2[u]+cost;
                q.push(qnode(v,d2[v]));
            }
        }
    }
}
void add(int u,int v,int w)
{
    edge[tol].v=v;edge[tol].cost=w;edge[tol].next=head[u];head[u]=tol++;
}
void init()
{
    tol=0;
    mem(head,-1);
}
int main()
{
    init();
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    rep(i,1,k)scanf("%d",&a[i]);
    rep(i,1,m)
    {
        scanf("%d%d",&u,&v);
        add(u,v,1);add(v,u,1);
    }
    dijkstra(1,n);
    rep(i,1,k)
    {
        p[i].id=a[i];
        p[i].x=d1[a[i]]-d2[a[i]];
    }
    sort(p+1,p+1+k,cmp);
    for (int i=1;i<=k;i++)
    {
        int num=p[i].id;
        if (i==1)maxx=d1[num];
        else
        {
            ans=max(ans,maxx+d2[num]+1);
            maxx=max(maxx,d1[num]);
        }
    }
    ans=min(ans,d1[n]);
    W(ans);
}

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