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给定N，求 ∑Ni=1Lcm(i,N) 。
共T组测试数据。
1 <= T <= 300000
1 <= n <= 1000000

题解

我们考虑将lcm变为gcd，再枚举gcd的值。

∑i=1Nlcm(i,N)=∑i=1Ni∗Ngcd(i,N)=∑d|N∑i=1Ni∗Nd[gcd(i,N)=d]=∑d|NN∑i=1N/di[gcd(i,N/d)=1]

注意到当N>1时 gcd(n,i)=1 则 gcd(n,n−i)=1 也就是说与N互质的i是成对出现的。那就有 ∑Ni=1i[gcd(i,N)=1]=N∗φ(N)2 。那么原式中：

∑d|NN∑i=1N/di[gcd(i,N/d)=1]=N(当d=N时)=∑d|NNN/d∗φ(N/d)2(当d≠N时)

因为d与N/d是等价的，所以有：

∑i=1Nlcm(i,N)=N∑d|N,d>1d∗φ(d)2+N

我们只需用线性筛求出 φ(i) 在枚举N的因子就可以求出结果了。
但是T很大，每一组都这么做的话会超时。其实我们可以预处理出所有答案。
考虑一个因子d,它对所有d的倍数都贡献了 d∗φ(d)2 我们可以枚举d与它的倍数。

for(int i=1;i<=1000000;i++)
 for(int j=1;j*i<=1000000;j++) ans[i*j]+=(ll)j*phi[j]/2;
for(int i=1;i<=1000000;i++)ans[i]=(ll)i*ans[i]+i;

它的复杂度是可以用调和级数证明的。

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代码：

#include
#include
using namespace std;

#define maxn 1000100
typedef long long ll;
int phi[maxn],p[100010],num,x,T;
ll ans[maxn];
bool b[maxn];

void init(){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=1000000;i++){
        if(!b[i]){
            p[++num]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=num;j++){
            if(p[j]*i>1000000)break;
            b[i*p[j]]=true;
            if(i%p[j]==0){
                phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
                break;
            }
            phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
        }
    }
    for(int i=1;i<=1000000;i++)
     for(int j=1;j*i<=1000000;j++) ans[i*j]+=(ll)j*phi[j]/2;
    for(int i=1;i<=1000000;i++)ans[i]=(ll)i*ans[i]+i;
}

int main(){
    init();
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d",&x);
        printf("%lld\n",ans[x]);
    }
    return 0;
}