树的定义与基本术语
树型结构是一类重要的非线性数据结构，其中以树和二叉树最为常用，是以分支关系定义的层次结构。树结构在客观世界中广泛存在，如人类社会的族谱和各种社会组织机构；在计算机领域中也有广泛应用，如在编译程序中，可用树来表示源程序的语法结构；在数据库系统中，树型结构也是信息的重要组织形式之一；在机器学习中，决策树，随机森林，GBDT等是常见的树模型。
树（Tree）是个结点的有限集。在任意一棵树中：（1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的节点；（2）当时，其余节点可分为个互不相交的有限集其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree）。
在图1，该树一共有13个节点，其中A是根，其余节点分成3个互不相交的子集：,,;都是根A的子树，且本身也是一棵树。例如，其根为B，其余节点分为两个互不相交的子集；,。和都是B的子树。而在中E是根，和是E的两棵互不相交的子树，其本身又是只有一个根节点的树。
接下来讲一下树的基本术语。
树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。节点拥有的子树数量称为节点的度（Degree）。在图1中，A的度为3，B的度为2，C的度为1，F的度为0。度为0的结点称为叶子（Leaf）结点。在图1中，K,L,F,G,M,I,J都是该树的叶子。度不为0的结点称为分支结点。树的度是指树内个结点的度的最大值。
结点的子树的根称为该结点的孩子（Child），相应地，该结点称为孩子的双亲（Parent）。在图1,中，D是A的孩子，A是D的双亲。同一个双亲的孩子之间互称兄弟（Sibling）。在图1中，H,I,J互为兄弟。结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点。在图1中，M的祖先为A,D,H。对应地，以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。在图1中，B的子孙为E,F,K,L。
树的层次(Level)是从根开始，根为第一层，根的孩子为第二层等。双亲在同一层的结点互为同兄弟，在图1中，K,L,M互为堂兄弟。树中结点的最大层次称为树的深度(Depth)或高度，在图1中，树的深度为4。
如果将树中结点的各子树看成从左到右是有次序的（即不能交换），则称该树为有序树，否则为无序树。
森林（Forest）是棵互不相交的树的集合。对树中每个结点而言，其子树的集合即为森林。在机器学习模型中，决策树为树型结构，而随机森林为森林，是由若干决策树组成的森林。
二叉树的定义与基本性质
二叉树（Binary Tree）是一种特殊的树型结构，它的特点是每个结点至多有两棵子树（即二叉树中不存在度大于2的结点），且二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒（有序树）。
根据二叉树的定义，其具有下列重要性质：（这里不给出证明，证明细节可参考清华大学出版社 严蔚敏 吴伟民的《数据结构（C语言版）》）
性质1）在二叉树的第层上至多有个结点。
性质2）深度为的二叉树至多有个结点。
性质3）对任何一棵二叉树，如果其叶子节点数为,度为2的结点数为，则。
一棵深度为且有个结点的二叉树称为满二叉树。深度为，结点数数的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为的满二叉树中编号为1至n的结点一一对应时，称之为完全二叉树。在下图2中，（a）为满二叉树，（b）为完全二叉树。
下面介绍完全二叉树的两个特性：
性质4）具有个结点的完全二叉树的深度为,其中表示不大于x的最大整数。
性质5）如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号（从第一层到最后一层，每层从左到右），则对任一结点,有：
（1）如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1,则其双亲结点为[1/2]。
（2）如果2i>n，则结点i无左孩子；否则其左孩子是结点2i。
（3）如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1。
介绍完了二叉树的定义及基本性质，接下来，我们需要了解二叉树的遍历。所谓二叉树的遍历，指的是如何按某种搜索路径巡防树中的每个结点，使得每个结点均被访问一次，而且仅被访问一次。对于二叉树，常见的遍历方法有：先序遍历，中序遍历，后序遍历，层序遍历。这些遍历方法一般使用递归算法实现。
先序遍历的操作定义为：若二叉树为空，为空操作；否则（1）访问根节点；（2）先序遍历左子树；（3）先序遍历右子树。
中序遍历的操作定义为：若二叉树为空，为空操作；否则（1）中序遍历左子树；（2）访问根结点；（3）中序遍历右子树。
后序遍历的操作定义为：若二叉树为空，为空操作；否则（1）后序遍历左子树；（2）后序遍历右子树；（3）访问根结点。
层序遍历的操作定义为：若二叉树为空，为空操作；否则从上到下、从左到右按层次进行访问。
如对于下图3，
其先序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历的结果为：
先序遍历为:
18 7 3 4 11 5 1 3 6 2 4
中序遍历为:
3 7 4 18 1 5 3 11 2 6 4
后序遍历为:
3 4 7 1 3 5 2 4 6 11 18
层序遍历为:
[[18], [7, 11], [3, 4, 5, 6], [1, 3, 2, 4]]
关于二叉树的存储结构，可以选择链式存储结构。用于表示二叉树的链表中的结点至少包含3个域：数据域和左、右指针。下面会给出如何利用利用链式存储结构实现二叉树（Python实现）。
二叉树的Python实现
了解了二叉树的基本情况后，笔者使用Python实现了二叉树，其完整的Python代码（Binary_Tree.py）如下：
from graphviz import Digraph
import uuid
from random import sample
# 二叉树类
class BTree(object):
# 初始化
def __init__(self, data=None, left=None, right=None):
self.data = data # 数据域
self.left = left # 左子树
self.right = right # 右子树
self.dot = Digraph(comment='Binary Tree')
# 前序遍历
def preorder(self):
if self.data is not None:
print(self.data, end=' ')
if self.left is not None:
self.left.preorder()
if self.right is not None:
self.right.preorder()
# 中序遍历
def inorder(self):
if self.left is not None:
self.left.inorder()
if self.data is not None:
print(self.data, end=' ')
if self.right is not None:
self.right.inorder()
# 后序遍历
def postorder(self):
if self.left is not None:
self.left.postorder()
if self.right is not None:
self.right.postorder()
if self.data is not None:
print(self.data, end=' ')
# 层序遍历
def levelorder(self):
# 返回某个节点的左孩子
def LChild_Of_Node(node):
return node.left if node.left is not None else None
# 返回某个节点的右孩子
def RChild_Of_Node(node):
return node.right if node.right is not None else None
# 层序遍历列表
level_order = []
# 是否添加根节点中的数据
if self.data is not None:
level_order.append([self])
# 二叉树的高度
height = self.height()
if height >= 1:
# 对第二层及其以后的层数进行操作, 在level_order中添加节点而不是数据
for _ in range(2, height + 1):
level = [] # 该层的节点
for node in level_order[-1]:
# 如果左孩子非空，则添加左孩子
if LChild_Of_Node(node):
level.append(LChild_Of_Node(node))
# 如果右孩子非空，则添加右孩子
if RChild_Of_Node(node):
level.append(RChild_Of_Node(node))
# 如果该层非空，则添加该层
if level:
level_order.append(level)
# 取出每层中的数据
for i in range(0, height): # 层数
for index in range(len(level_order[i])):
level_order[i][index] = level_order[i][index].data
return level_order
# 二叉树的高度
def height(self):
# 空的树高度为0, 只有root节点的树高度为1
if self.data is None:
return 0
elif self.left is None and self.right is None:
return 1
elif self.left is None and self.right is not None:
return 1 + self.right.height()
elif self.left is not None and self.right is None:
return 1 + self.left.height()
else:
return 1 + max(self.left.height(), self.right.height())
# 二叉树的叶子节点
def leaves(self):
if self.data is None:
return None
elif self.left is None and self.right is None:
print(self.data, end=' ')
elif self.left is None and self.right is not None:
self.right.leaves()
elif self.right is None and self.left is not None:
self.left.leaves()
else:
self.left.leaves()
self.right.leaves()
# 利用Graphviz实现二叉树的可视化
def print_tree(self, save_path='./Binary_Tree.gv', label=False):
# colors for labels of nodes
colors = ['skyblue', 'tomato', 'orange', 'purple', 'green', 'yellow', 'pink', 'red']
# 绘制以某个节点为根节点的二叉树
def print_node(node, node_tag):
# 节点颜色
color = sample(colors,1)[0]
if node.left is not None:
left_tag = str(uuid.uuid1()) # 左节点的数据
self.dot.node(left_tag, str(node.left.data), style='filled', color=color) # 左节点
label_string = 'L' if label else '' # 是否在连接线上写上标签，表明为左子树
self.dot.edge(node_tag, left_tag, label=label_string) # 左节点与其父节点的连线
print_node(node.left, left_tag)
if node.right is not None:
right_tag = str(uuid.uuid1())
self.dot.node(right_tag, str(node.right.data), style='filled', color=color)
label_string = 'R' if label else '' # 是否在连接线上写上标签，表明为右子树
self.dot.edge(node_tag, right_tag, label=label_string)
print_node(node.right, right_tag)
# 如果树非空
if self.data is not None:
root_tag = str(uuid.uuid1()) # 根节点标签
self.dot.node(root_tag, str(self.data), style='filled', color=sample(colors,1)[0]) # 创建根节点
print_node(self, root_tag)
self.dot.render(save_path) # 保存文件为指定文件
在上述代码中，笔者创建了二叉树类BTree，实现了如下方法：
- 初始化方法：该树存放的数据为data,左子树，右子树为left和right，默认均为None;
- preorder()方法：递归实现二叉树的先序遍历；
- inorder()方法：递归实现二叉树的中序遍历；
- postorder()方法：递归实现二叉树的后序遍历；
- levelorder()方法：递归实现二叉树的层序遍历；
- height()方法：计算二叉树的高度；
- leaves()方法：计算二叉树的叶子结点；
- print_tree()方法：利用Graphviz实现二叉树的可视化，需要设置的参数为save_path和label，save_path为文件保存路径，默认的保存路径为当前路径下的Binary_Tree.gv,可以用户自己设置；label为是否在Graphviz文件中添加二叉树的左右子树的标签，用于分清哪棵是左子树，哪棵是右子树，可以用用户自己设置。
若我们需要实现图3的示例二叉树，完整的Python代码如下：
from Binary_Tree import BTree
# 构造二叉树, BOTTOM-UP METHOD
right_tree = BTree(6)
right_tree.left = BTree(2)
right_tree.right = BTree(4)
left_tree = BTree(5)
left_tree.left = BTree(1)
left_tree.right = BTree(3)
tree = BTree(11)
tree.left = left_tree
tree.right = right_tree
left_tree = BTree(7)
left_tree.left = BTree(3)
left_tree.right = BTree(4)
right_tree = tree # 增加新的变量
tree = BTree(18)
tree.left = left_tree
tree.right = right_tree
print('先序遍历为:')
tree.preorder()
print()
print('中序遍历为:')
tree.inorder()
print()
print('后序遍历为:')
tree.postorder()
print()
print('层序遍历为:')
level_order = tree.levelorder()
print(level_order)
print()
height = tree.height()
print('树的高度为%s.' % height)
print('叶子节点为：')
tree.leaves()
print()
# 利用Graphviz进行二叉树的可视化
tree.print_tree(save_path='E://BTree.gv', label=True)
OK,当我们运行上述代码时，可以得到该二叉树的一些信息，输出结果如下：
先序遍历为:
18 7 3 4 11 5 1 3 6 2 4
中序遍历为:
3 7 4 18 1 5 3 11 2 6 4
后序遍历为:
3 4 7 1 3 5 2 4 6 11 18
层序遍历为:
[[18], [7, 11], [3, 4, 5, 6], [1, 3, 2, 4]]
树的高度为4.
叶子节点为：
3 4 1 3 2 4
该Python代码的优势在于利用Graphviz实现了二叉树的可视化，可以形象直观地得到二叉树的图形。在上面的代码中，我们可以看到，构建二叉树不是很方便，需要手动地一个个结点去添加。那么，如果当我们需要根据某个列表，按列表顺序去构建二叉树时，即二叉树的层序遍历为该列表，那又该怎么办呢？有什么好的办法吗？
答案是必须有！按照某个列表去构建二叉树的完整Python代码如下：
from Binary_Tree import BTree
# 利用列表构造二叉树
# 列表中至少有一个元素
def create_BTree_By_List(array):
i = 1
# 将原数组拆成层次遍历的数组，每一项都储存这一层所有的节点的数据
level_order = []
sum = 1
while sum < len(array):
level_order.append(array[i-1:2*i-1])
i *= 2
sum += i
level_order.append(array[i-1:])
# print(level_order)
# BTree_list: 这一层所有的节点组成的列表
# forword_level: 上一层节点的数据组成的列表
def Create_BTree_One_Step_Up(BTree_list, forword_level):
new_BTree_list = []
i = 0
for elem in forword_level:
root = BTree(elem)
if 2*i < len(BTree_list):
root.left = BTree_list[2*i]
if 2*i+1 < len(BTree_list):
root.right = BTree_list[2*i+1]
new_BTree_list.append(root)
i += 1
return new_BTree_list
# 如果只有一个节点
if len(level_order) == 1:
return BTree(level_order[0][0])
else: # 二叉树的层数大于1
# 创建最后一层的节点列表
BTree_list = [BTree(elem) for elem in level_order[-1]]
# 从下往上，逐层创建二叉树
for i in range(len(level_order)-2, -1, -1):
BTree_list = Create_BTree_One_Step_Up(BTree_list, level_order[i])
return BTree_list[0]
#array = list(range(1,19))
array = 'ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ'
tree = create_BTree_By_List(array)
print('先序遍历为:')
tree.preorder()
print()
height = tree.height()
print('\n树的高度为%s.\n'%height)
print('层序遍历为:')
level_order = tree.levelorder()
print(level_order)
print()
print('叶子节点为：')
tree.leaves()
print()
# 利用Graphviz进行二叉树的可视化
tree.print_tree(save_path='E://create_btree_by_list.gv', label=True)
在上述程序中，笔者利用create_BTree_By_List()函数实现了按照某个列表去构建二叉树，输入的参数array为列表，要求列表中至少有一个元素。运行上述程序，我们得到的26个大写字母列表所构建的二叉树的图像如下：
输出的结果如下：
先序遍历为:
A B D H P Q I R S E J T U K V W C F L X Y M Z G N O
树的高度为5.
层序遍历为:
[['A'], ['B', 'C'], ['D', 'E', 'F', 'G'], ['H', 'I', 'J', 'K', 'L', 'M', 'N', 'O'], ['P', 'Q', 'R', 'S', 'T', 'U', 'V', 'W', 'X', 'Y', 'Z']]
叶子节点为：
P Q R S T U V W X Y Z N O
总结
二叉树是很多重要算法及模型的基础，比如二叉搜索树（BST），哈夫曼树(Huffman Tree)，CART决策树等。本文先介绍了树的基本术语，二叉树的定义与性质及遍历、储存，然后笔者自己用Python实现了二叉树的上述方法，笔者代码的最大亮点在于实现了二叉树的可视化，这个功能是激动人心的。
在Python中，已有别人实现好的二叉树的模块，它是binarytree模块，其官方文档的网址为：https://pypi.org/project/binarytree/。其使用的例子如下：
关于这个模块的更多功能，可参考其官方文档。当然，笔者还是建议您亲自实现一下二叉树哦，这样能够加深对二叉树的理解~
在后面的文章中，笔者将会介绍二叉搜索树（BST），哈夫曼树(Huffman Tree)等，欢迎大家关注~
注意：本人现已开通微信公众号： Python爬虫与算法（微信号为：easy_web_scrape）， 欢迎大家关注哦~~