行列式的计算方法

前面我们看到，二阶行列式的计算方法是“对角线法则”：

主对角线元素积与副对角线元素积的差

那么这个法则对其他的行列式适用吗？

三阶行列式

三阶行列式

二阶行列式的法则并不适用三阶行列式。三阶行列式的计算方法如下

三阶行列式的值

这个依然叫“对角线法则”，不过是复杂版的：主对角线乘完以后元素位置要平移一下继续相乘，直到x、y、z分别开过头以后，再分别减去x、y、z开头的副对角线乘积。

任意阶行列式的计算

为了计算更高阶行列式，我们需要引入两个概念：全排列和逆序数。
全排列比较简单，我们在高中就学过：n个不同元素的不同排列法一共有

全排列

在这些排列中，如果规定从小到大是标准次序，则每有两个元素不是标准次序就称为一个“逆序”。比如32514中，3在2前面，3在1前面，5在1前面，5在4前面，2在1前面。
逆序数就是排列中逆序的数目，用t表示，比如

逆序数

逆序数没有计算方法，就是靠数出来的！每次看一个数，看前面有比它大的有几个。
如果逆序数是奇数，这个排列叫 奇排列，否则叫 偶排列。标准次序逆序是0，所以是偶排列。

n阶行列式

n阶行列式的值

1. n阶行列式一共有n!项（因为是a的第二个下标的全排列）
2. 每一项都是不同行不同列的n个元素的积
3. 当第二下标的排列是奇排列符号为负，否则为正。

你可以自己验证一下二阶和三阶行列式也符合以上规律。

其他计算方式

1. 也可以用第一下标排列计算
   

   第一下标全排列

2. 也可以同时计算第一下标和第二下标的逆序数
   

   同时排列
3. 行列式等于其任意某行（或某列）的各元素与其对应代数余子式乘积之和。这里引入代数余子式概念：行列式的元素aij的代数余子式是把它所有行列的所有元素都删掉（变成了n-1阶）的行列式记为
   

   余子式
   ，则代数余子式
   

   代数余子式

行列式性质

1. 行列式转置后值不变
2. 互换行列式中两行，值变为相反数
3. 行列式中两行成比例，行列式为0
4. 行列式中一行所有元素乘以一个数后加到另一行，行列式值不变