HDU 6363 bookshelf（数论+莫比乌斯反演）

Description

将$n$本书等概率随机放在$k$层书架上，如果第$i$层书架上有$cn{t}_i$本书，那么该层书架的稳定值为$stabl{e}_i=f[cn{t}_i]$，其中$f[0]=0,f[1]=1,f[i]=f[i-1]+f[i-2]$为斐波那契数列，美观度为$beaut{y}_i=2^{stabl{e}_i}-1$，此时得分为$gcd(beaut{y}_1,...,beaut{y}_k)$，求得分期望值

Input

第一行一整数$T$表示用例组数，每组用例输入两个整数$n,k(1\le T\le 10,0<n,k\le 10^6)$

Output

输出得分期望值，结果模$10^9+7$

Sample Input

1
6 8

Sample Output

797202805

Solution

首先证明两个结论：

$1.gcd(2^a-1,2^b-1)=2^{gcd(a,b)}-1$

假设$a\ge b$，则有

$$\begin{array}{rcl}gcd(2^a-1,2^b-1)& =& gcd(2^{a-b}(2^b-1)+2^{a-b}-1,2^b-1)\\ & =& gcd(2^{a-b}-1,2^b-1)\\ & ...& \\ & =& gcd(2^{a\%b}-1,2^b-1)\end{array}$$

辗转相除即得结论.

$2.gcd(f_a,f_b)=f_{gcd(a,b)}$

首先注意到
$$gcd(f_x,f_{x-1})=gcd(f_{x-1}+f_{x-2},f_{x-1})=gcd(f_{x-1},f_{x-2})=...=gcd(f_1,f_2)=1$$
假设$a\ge b$，那么有
$$f_x=f_{x-1}+f_{x-2}=2f_{x-2}+f_{x-3}=...=f_{y+1}{f}_{x-y}+f_y{f}_{x-y-1}$$
则有
$$\begin{array}{rcl}gcd(f_x,f_y)& =& gcd(f_{y+1}{f}_{x-y}+f_y{f}_{x-y-1},f_y)\\ & =& gcd(f_{y+1}{f}_{x-y},f_y)\\ & =& gcd(f_{x-y},f_y)\\ & ...& \\ & =& gcd(f_{x\%y},f_y)\end{array}$$
辗转相除即得结论.

现在考虑原问题，由上面两个结论即得到当$k$个书架上书的数量为$a_1,...,a_k$时，其得分即为$2^{f_{gcd(a_1,...,a_k)}}-1$，总方案数即为将$n$本书放入$k$个书架，方案数$C_{n+k-1}^{k-1}$，假设$gcd(a_1,...,a_k)=d,a_1+...+a_k=n$的方案数有$g(d)$种，那么答案即为$ans=\sum _{d|n}g(d)(2^{f_d}-1)$，故只要求出$g(1),...,g(d)$即可

令$d|gcd(a_1,...,a_k),a_1+...+a_k=n$的方案数为$F(d)$，由插板法知$F(d)=C_{\frac{n}{d}+k-1}^{k-1}$

而$F(d)=\sum _{d|i}g(i)$，由莫比乌斯反演有$g(d)=\sum _{d|i}\mu (\frac{i}{d})F(i)$，预处理莫比乌斯函数后直接求解即可

Code

#include
#include
#include
using namespace std;
#define maxn 1000005
typedef long long ll;
int prime[maxn],mu[maxn],check[maxn],tot;
void Moblus(int n=1e6)
{
	memset(check,0,sizeof(check));
	mu[1]=1;
	tot=0;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!check[i])
		{
			prime[tot++]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for(int j=0;j=mod)x-=mod;
	return x;
}
int Pow(int a,int b)
{
	int ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)ans=mul(ans,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int a[maxn],fact[2*maxn],inv[2*maxn];
void init(int n=1e6)
{
	Moblus();
	a[0]=0,a[1]=1;
	for(int i=2;i<=1e6;i++)a[i]=(a[i-2]+a[i-1])%(mod-1);
	for(int i=1;i<=1e6;i++)a[i]=add(Pow(2,a[i]),mod-1);
	fact[0]=1;
	for(int i=1;i<=2*n;i++)fact[i]=mul(i,fact[i-1]);
	inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=2*n;i++)inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
	inv[0]=1;
	for(int i=1;i<=2*n;i++)inv[i]=mul(inv[i],inv[i-1]);
}
int C(int n,int m)
{
	if(m<0||m>n)return 0;
	return mul(fact[n],mul(inv[m],inv[n-m]));
}
int F(int d,int k)
{
	return C(d+k-1,k-1);
}
int main()
{
	init();
	int T,n,k;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d%d",&n,&k);
		int ans=0;
		for(int d=1;d<=n;d++)
			if(n%d==0)
			{
				int f=0;
				for(int i=d;i<=n;i+=d)
					if(n%i==0)
					{
						if(mu[i/d]==1)f=add(f,F(n/i,k));
						else if(mu[i/d]==-1)f=add(f,mod-F(n/i,k));
					}
				ans=add(ans,mul(f,a[d]));
			}
		printf("%d\n",mul(ans,Pow(C(n+k-1,k-1),mod-2)));
	}
	return 0;
}