数据结构-并查集

并查集

写作目的

训练自己的Markdown绘图能力。

介绍

并查集是一种数据结构，体现的是森林（或者树）形态，主要操作有两种：

• 并，意为合并，操作函数为void connect(int,int);（注：connect vt. & vi. 连接）；
• 查，意为查询：
  • 查询一个节点的父亲节点，查询函数为int find(int);（注：find v. 寻找）；
  • 查询两个节点是否在用一个集合内，查询函数为bool search(int,int);（注：search v. 搜寻）。

具体思路与实现

首先，因为并查集是森林（或者树）的一种，所以我们可以用树的三种表示方法其中之一——父亲结点表示法（其它两种方法是儿子结点表示法和儿子、兄弟表示法）。

定义数组ID[n]（一般编程时数组下标从$1$开始，应使用ID[n+1]），ID[i]表示第$i$个结点当前状态下的父亲。

假设有$n$个结点，为了方便，我们将每一个结点初始的父亲设为它自己。

代码实现如下：

#define n 100000//假设n=10^5

int ID[n+1];

void Init(void){//初始化函数
	register int i;
	for(i=1;i<=n;++i)
		ID[i]=i;
	return;
}

初始化后的示意图如下：

1

2

...

n

下面重点介绍如何查询一个节点的父亲节点。

int find(int);

不带路径压缩

用find(x)表示x的父亲结点的编号。

代码实现如下：

int find(int x){
	if(x==ID[x])//如果x的父亲结点是自己
		return x;//返回x，停止递归
	else
		return find(ID[x]);//继续递归查找父亲结点
}

用图理解如下：

设$n=5$，此时并查集的状态如下：

1

2

3

4

5

运行find(5)，过程如下：

开始

继续递归

继续递归

继续递归

返回1

返回1

返回1

结束 返回1

入口

运行5时5的父亲结点是3

运行3时3的父亲结点是2

运行2时2的父亲结点是1

运行1时1的父亲结点是自己

如果还不能理解的话，请手动模拟。

路径压缩

用find(x)表示x的父亲结点的编号。

代码实现如下：

int find(int x){
	if(x==ID[x])//如果x的父亲结点是自己
		return x;//返回x，停止递归
	else
		return ID[x]=find(ID[x]);//继续递归查找父亲结点，并赋值以压缩路径
}

用图理解如下：

设$n=5$，此时并查集的状态如下：

1

2

3

4

5

运行find(5)，过程如下：

开始

继续递归

继续递归

继续递归

返回1

返回1 并将2的父亲结点改为1

返回1 并将3的父亲结点改为1

结束 返回1 并将5的父亲结点改为1

入口

运行5时5的父亲结点是3

运行3时3的父亲结点是2

运行2时2的父亲结点是1

运行1时1的父亲结点是自己

运行过后，整个并查集的状态发生了改变，变成了这样：

1

2

3

4

5

在这次操作之后，再次调用find(5)只需要$O(1)$的时间。

void connect(int,int);

在此之前，我们已经实现了int find(int);，那么其他的两个操作都比较简单，具体实现如下：

void connect(int a,int b){
	register int ra=find(a),rb=find(b);//寻找a和b的祖先节点，记为ra,rb
	if(ra!=rb)//假如a,b的祖先节点不同
		ID[rb]=ra;//把rb的父亲节点设为ra
	return;
}

bool search(int a,int b){
	return find(a)==find(b);//比较a,b的祖先节点是否相同
}

下面是一个具体的例子：

设$n=6$，此时并查集的状态如下。

ID[1]=1;
ID[2]=1;
ID[3]=2;
ID[4]=5;
ID[5]=5;
ID[6]=6;

用图表示为：

1

2

3

4

5

6

执行操作connect(4,6)：

1. $4$的祖先是$5$，$6$的祖先是它本身；
2. 显然，$5̸=6$；
3. 所以把$6$的祖先设置为$5$；
4. 结束。

操作完成后：

ID[1]=1;
ID[2]=1;
ID[3]=2;
ID[4]=5;
ID[5]=5;
ID[6]=5;//主要操作

用图表示为：

1

2

3

4

5

6

执行操作connect(6,3)：

1. $6$的祖先是$5$，$3$的祖先是$1$；
2. 显然，$5̸=1$；
3. 所以把$1$的祖先设置为$5$；
4. 结束。

操作完成后：

ID[1]=5;//主要操作
ID[2]=1;
ID[3]=1;//find()过程中进行了路径压缩
ID[4]=5;
ID[5]=5;
ID[6]=5;

用图表示为：

1

2

3

4

5

6