HDU 6363 容斥定理

题目链接

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题意：
将$n$个相同的小球放入$k$个不同的箱子，箱子可以为空。假设对于一个方案，$cnt[i]$表示第$i$个箱子中的小球数，则该方案的价值为：$gcd(2^{Fib[cnt[1]]}-1,2^{Fib[cnt[2]]}-1,2^{Fib[cnt[3]]}-1,...,2^{Fib[cnt[k]]}-1)$，其中$Fib[]$为斐波那契数列，问所有方案价值的期望是什么？

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思路：
首先通过打表可以发现：

$$gcd(2^{Fib[cnt[x]]}-1,2^{Fib[cnt[y]]}-1)=2^{Fib[gcd(cnt[x],cnt[y])]}-1$$

即一个方案的价值其实等价于求出$k$个箱子中小球数量的$gcd$，记为$g$，则方案价值为：
$$2^{Fib[g]}-1$$

此时可以考虑容斥：
记$dp[i]$表示$g=i$的方案数
$G[i]$表示$g$为$i$的倍数的方案数。

显然$g$为$n$的约数
则求解$G[i]$，本质上是将$n/i$个$i$分到$k$个箱子中，箱子可以为空，而此问题是一个经典的组合数学题，由隔板法得：
$$G[i]=C_{n/i+k-1}^{k-1}$$

又由容斥定理，得：
$$dp[i]=G[i]-\sum _{i|jandj|n}dp[j]$$

则最终答案为：
$$Ans=(\sum _{i|n}dp[i]\ast (2^{Fib[i]}-1))/C_{n+k-1}^{k-1}$$

而对于$2^{Fib[i]}-1$的求解，可以考虑使用拓展欧拉定理进行降幂求解。
但通过打表可以发现一个更简单的递推式：
假设$g[i]=2^{Fib[i]}-1$

则：
$$g[i]=g[i-1]\ast g[i-2]+g[i-1]+g[i-2]$$

此题得解。

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代码：

#include
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#include
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#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;

const int mod = 1e9 + 7;
const int A = 2e6 + 10;
ll g[A], Fac[A], Inv[A], dp[A], ans, n, k;

ll fast_mod(ll n, ll m){
    ll res = 1;
    while (m > 0) {
        if (m & 1) res = res * n % mod;
        n = n * n % mod;
        m >>= 1;
    }
    return res;
}

void Init(){
    g[0] = 0;
    g[1] = g[2] = 1;
    for (int i = 3; i < A; i++) {
        g[i] = (g[i-1] * g[i-2] % mod + g[i-1] + g[i-2]) % mod;
    }
    Fac[0] = Inv[0] = 1;
    for (int i = 1; i < A; i++) {
        Fac[i] = Fac[i-1] * i % mod;
    }
    Inv[A-1] = fast_mod(Fac[A-1], mod - 2);
    for (int i = A - 2; i >= 1; i--) {
        Inv[i] = Inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
    }
}

ll Comb(ll n, ll m){
    return Fac[n] * Inv[m] % mod * Inv[n-m] % mod;
}

int main(){
    Init();
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        scanf("%I64d%I64d", &n, &k);
        ans = 0;
        for (int i = n; i >= 1; i--) {
            if (n % i == 0){
                dp[i] = Comb(n/i + k - 1, k - 1);
                for (int j = 2 * i ; j <= n; j += i) {
                    if(n % j == 0) dp[i] = (dp[i] - dp[j]) % mod;
                }
                ans = (ans + dp[i] * g[i] % mod) % mod;
            }
        }
        ans = ans * fast_mod(Comb(n + k - 1, k - 1), mod - 2)% mod;
        if (ans < 0) ans += mod;
        printf("%I64d\n", ans);
    }
    return 0;
}