斜率dp

斜率dp类似这种情况 dp[i]=dp[j]+f(i,j)  或者简单一点  dp[i]=dp[j]+a[i]+a[j]这种，i是1e5级别的；

一般解题步骤：

1：求出状态转移方程

2：求出 y，x，k 其中y中要不含除x以外的变量

3：判断是维护下凸包还是上凸包，具体判断方法为在队头能取到题目要求的截距最值；

技巧：

1：当题目不满足连续的性质时，要进行排序等操作，使他们满足连续取才是最优的这个性质

2：当a[i]可以为负数的时候，要二分找斜率

3：当题目要求要倒着dp的时候(j从n到1) 如果x是单调递减的，那么可以用-x做x  -k做k 这样方便计算

4：一般情况下double不会被卡（用cf的一个题目做了实验，没被卡）

HDU 3507 Print Article

题意：给一个n个数的数组，可以分成若干个组，假设有一个组有k个元素（连续），那么就要花费这k个数和的平方，求将这n个数都分组最少要花费多少

思路：大家都会的状态转移 f[i]=f[j]+(sum[i]-sum[j])^2+m 1<=j&&j

化简：f[j]+sum[j]^2=2*sum[i]sum[j]+dp[i]-sum[i]*sum[i]-m；这个是以sum[j]为横坐标，f[j]+sum[j]^2为纵坐标 2*sum[i]为斜率(大于0)，dp[i]-sum[i]^2-m为截距的方程，求满足一个j，使这个方程截距最小；然后就斜率优化一下 ；斜率优化的一个入门题目；但是这个题目有一个坑就是 在维护下凸壳的时候必须删掉重复的点（这个题目c[i]可以等于0），如果没有删除就维护不了下凸壳（不信可以模拟一下）也不能用double做这个题目，因为分母可能为0；就像维护凸包的时候也要去掉重复的点一样,还有就是要注意求斜率的时候，乘以负数和要变号的情况；

bzoj 1010 玩具装箱toy

题意：https://vjudge.net/problem/HYSBZ-1010

思路：很容易求出状态转移方程  dp[x]+(a-sum[x]-x)*(a-sum[x]-x)   其中 a=sum[i]+i-1-m; x

化简  dp[x]+(LL)x*x+(sum[x]+2*x)*sum[x]=2a*(sum[x]+x)+dp[i]; 板子题要注意   y只能含有自变量x不能含有其它数，含有其它数当那个数变了，就不是下凸壳了  这个题目y不能为 dp[x]+(LL)x*x+(sum[x]+2*x-2*a)*sum[x]；

bzoj 1911 特别行动队

题意：https://vjudge.net/problem/HYSBZ-1911

思路：很容易求出状态转移方程 dp[i]=dp[x]+a*g*g+b*g+c; 其中g=(sum[i]-sum[x]) 然后求出y，x，k  这个题目不一样的是求最小值但是维护的是上凸包，因为斜率是负的；

bzoj 3675 序列分割

题意：https://vjudge.net/problem/HYSBZ-3675

思路：将一个序列分成m+1段 很好想到dp方程 dp[i][j]=dp[x][j-1]+(sum[i]-sum[x])*(sum[n]-sum[i]);化简一下，就可以到了；

需要注意的是这个方程有二维，需要将j放在for循环的第一层，注意单调队列里面的决策点要合法； 

bzoj 1597 土地购买 

题意：https://vjudge.net/problem/HYSBZ-1597

思路：发现这个题目连续的取不一定是最优的，但是要用斜率dp解决要是连续的取，可以先考虑按x排序，那么就会发现可以将一些点合并  当i>j 时且 b[i]>b[j]时这样就可以合并这二个相邻的元素，那么这个时候连续的取明显是最优的，写出状态转移方程

dp[i]=dp[x]+a[i]*b[x+1]; 化简  dp[x]=-a[i]*b[x+1]+dp[i] 发现b[x+1]是递减的，刚好b[x+1]前面有个负号，那么y=dp[x] 单调递增，

x=-b[x+1]单调递增，a[i]单调递增，那么套板子就行了；

codeforces 631E  Product Sum

题意：给一个数组，这个数组的权值为, 现在有一个操作将一个数提出来，随便插哪个地方(可以插原来的地方)，求操作后数组的权值最大；

思路：假设将i这个位置的数往左边插 那么很容易写出状态方程   all+(sum[i-1]-sum[j-1])-(i-j)*a[i];   其中j<=i;

当然也可以往右边插   all+(j-i)*a[i]-(sum[j]-sum[i]);  其中j>=i 每次动i这个位置是有原因的，只有这样才能更方便的用斜率优化

当然k=a[i]可以为正数和负数  就要二分了。还有一个技巧就是当反正dp的时候(i从n到1) 其中的斜率方程的x单调递减，可以用

-x 为x，这样就可以避免一些麻烦；