货币系统【noip2018提高day1T2划水路过】

<前言>

去年参加了noip提高一日游，去见识了一下高端考试，没想到赶上了day1特水的好日子。

然而我还是只做出了一题，也就是T1。去年考场上我没看出来是个背包，写了一个奇怪的骗分随便拿了几分。总之去年真的是提高一日游，本来就不准备拿分的。

然而今年csp2019了，马上又要考试了，回头看看去年的题目，发现题库里这题还没写，就顺便水一篇bolg吧。

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<正文>

1914. NOIP2018提高组day1_2.货币系统

时间限制	空间限制	输入文件	输出文件
1s	512MB	money.in	money.out

题目描述

在网友的国度中共有 n 种不同面额的货币，第 i 种货币的面额为 a[i]，你可以假设每一种货币都有无穷多张。为了方便，我们把货币种数为 n、面额数组为 a[1…n] 的货币系统记作 (n,a)。

在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额 x 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数 x，都存在 n 个非负整数 t[i] 满足 a[i]×t[i] 的和为 x。然而， 在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额 x 不能被该货币系统表示出。例如在货币系统 n=3, a=[2,5,9]中，金额 1,3 就无法被表示出来。

两个货币系统 (n,a) 和 (m,b) 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 x，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。

现在网友们打算简化一下货币系统。他们希望找到一个货币系统 (m,b)，满足 (m,b) 与原来的货币系统 (n,a) 等价，且 m 尽可能的小。他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 m。

输入格式

• 输入文件的第一行包含一个整数 T，表示数据的组数。

• 接下来按照如下格式分别给出 T 组数据。 每组数据的第一行包含一个正整数 n。接下来一行包含 n 个由空格隔开的正整数 a[i]。

输出格式

• 输出文件共有 T 行，对于每组数据，输出一行一个正整数，表示所有与 (n,a)等价的货币系统 (m,b) 中，最小的 m。

样例数据

input

2 
4 
3 19 10 6 
5 
11 29 13 19 17

output

2
5

样例说明
在第一组数据中，货币系统 (2, [3,10]) 和给出的货币系统 (n, a) 等价，并可以验证不存在 m ＜ 2 的等价的货币系统，因此答案为 2。 在第二组数据中，可以验证不存在 m ＜ n的等价的货币系统，因此答案为 5。

数据规模与约定

• 对于 %100 的数据，满足 1 ≤ T ≤ 20, n,a[i] ≥ 1。

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• 我们很容易发现一个显而易见的结论：$m$ 种货币的等价系统 $b$ 种所有面额的货币一定也在 $a$ 中。

即：$b\subseteq a$。因为我们发现无论加入什么非a集中数时，都会造成两者不等价。甚至加入一个a中某数的因数或者倍数都不行。因数的话会造成可以表示更多数，不等价；倍数同理。

• 因此，我们去要做的就是在$a$数组中删去尽量多的数，但保持可表示的金额不变。

那么这还不简单吗，就是在a中找可以被其他面额的货币拼出来的面额，删掉就可以了。因为这些面额是多余的。因为货币有无限个，所以它们能拼出来的金额可以被更少的面额所取代，这样就可以同时保证两系统等价。最终得到的就是不能删去的最少要保留的面额。

• 既然如此，思考如何才能找到这样的数呢？

如果一时想不到背包，可以直接开一个桶，然后从一个没被标记的小的面额开始放入桶中，并标记所有它的倍数的位置，这样不停的放，放完就好了。但是这样你显然会WA的很彻底，甚至样例都过不了。

（然而我考试时就着这么搞得，不过加了一些strange skill，拿的是部分分的特殊数据。大概21分吧。）

这时候就要思考了：什么样的方法可以算出所有数据不限选择个数的累加和呢？我的说法可能不准确，但是显而易见完全背包。

题目中没有给出价值，其实我们也不需要，只需要知道能不能达到就行了。

• 设$f[i]$为是否能拼成金额$i$，$f[0]=1$。
• 暴力把每个$a[i]$作为总价值，并不用它本身来拼凑。
• 完全背包mb，转移式$f[k]=f[k-a[j]]$，其中$(j\ne i,a[j]\le k\le a[i])$。
• 看看$f[a[i]]$可不可以被拼出，拼出则删去。

这么暴力的算法竟然复杂度对的，没有任何卡人的直接过去了，去年T2真的水。

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不说了不说了，没后记，自己都嫌唠叨。