货币系统【noip2018提高day1T2划水路过】

<前言>

去年参加了noip提高一日游,去见识了一下高端考试,没想到赶上了day1特水的好日子。

然而我还是只做出了一题,也就是T1。去年考场上我没看出来是个背包,写了一个奇怪的骗分随便拿了几分。总之去年真的是提高一日游,本来就不准备拿分的。

然而今年csp2019了,马上又要考试了,回头看看去年的题目,发现题库里这题还没写,就顺便水一篇bolg吧。


<正文>

1914. NOIP2018提高组day1_2.货币系统
时间限制 空间限制 输入文件 输出文件
1s 512MB money.in money.out

题目描述

在网友的国度中共有 n 种不同面额的货币,第 i 种货币的面额为 a[i],你可以假设每一种货币都有无穷多张。为了方便,我们把货币种数为 n、面额数组为 a[1…n] 的货币系统记作 (n,a)。

在一个完善的货币系统中,每一个非负整数的金额 x 都应该可以被表示出,即对每一个非负整数 x,都存在 n 个非负整数 t[i] 满足 a[i]×t[i] 的和为 x。然而, 在网友的国度中,货币系统可能是不完善的,即可能存在金额 x 不能被该货币系统表示出。例如在货币系统 n=3, a=[2,5,9]中,金额 1,3 就无法被表示出来。

两个货币系统 (n,a) 和 (m,b) 是等价的,当且仅当对于任意非负整数 x,它要么均可以被两个货币系统表出,要么不能被其中任何一个表出。

现在网友们打算简化一下货币系统。他们希望找到一个货币系统 (m,b),满足 (m,b) 与原来的货币系统 (n,a) 等价,且 m 尽可能的小。他们希望你来协助完成这个艰巨的任务:找到最小的 m。

输入格式

  • 输入文件的第一行包含一个整数 T,表示数据的组数。

  • 接下来按照如下格式分别给出 T 组数据。 每组数据的第一行包含一个正整数 n。接下来一行包含 n 个由空格隔开的正整数 a[i]。

输出格式

  • 输出文件共有 T 行,对于每组数据,输出一行一个正整数,表示所有与 (n,a)等价的货币系统 (m,b) 中,最小的 m。

样例数据

input

2 
4 
3 19 10 6 
5 
11 29 13 19 17
output

2
5

样例说明
在第一组数据中,货币系统 (2, [3,10]) 和给出的货币系统 (n, a) 等价,并可以验证不存在 m < 2 的等价的货币系统,因此答案为 2。 在第二组数据中,可以验证不存在 m < n的等价的货币系统,因此答案为 5。

数据规模与约定

货币系统【noip2018提高day1T2划水路过】_第1张图片

  • 对于 %100 的数据,满足 1 ≤ T ≤ 20, n,a[i] ≥ 1。

  • 我们很容易发现一个显而易见的结论: m m m 种货币的等价系统 b b b 种所有面额的货币一定也在 a a a

即: b ⊆ a b\subseteq a ba。因为我们发现无论加入什么非a集中数时,都会造成两者不等价。甚至加入一个a中某数的因数或者倍数都不行。因数的话会造成可以表示更多数,不等价;倍数同理。

  • 因此,我们去要做的就是 a a a数组中删去尽量多的数,但保持可表示的金额不变

那么这还不简单吗,就是在a中找可以被其他面额的货币拼出来的面额,删掉就可以了。因为这些面额是多余的。因为货币有无限个,所以它们能拼出来的金额可以被更少的面额所取代,这样就可以同时保证两系统等价。最终得到的就是不能删去的最少要保留的面额。

  • 既然如此,思考如何才能找到这样的数呢?

如果一时想不到背包,可以直接开一个桶,然后从一个没被标记的小的面额开始放入桶中,并标记所有它的倍数的位置,这样不停的放,放完就好了。但是这样你显然会WA的很彻底,甚至样例都过不了。

(然而我考试时就着这么搞得,不过加了一些strange skill,拿的是部分分的特殊数据。大概21分吧。)

这时候就要思考了:什么样的方法可以算出所有数据不限选择个数的累加和呢?我的说法可能不准确,但是显而易见完全背包。

题目中没有给出价值,其实我们也不需要,只需要知道能不能达到就行了。

  • f [ i ] f[i] f[i]为是否能拼成金额 i i i f [ 0 ] = 1 f[0]=1 f[0]=1
  • 暴力把每个 a [ i ] a[i] a[i]作为总价值,并不用它本身来拼凑。
  • 完全背包mb,转移式 f [ k ] = f [ k − a [ j ] ] f[k]=f[k-a[j]] f[k]=f[ka[j]],其中 ( j ≠ i , a [ j ] ≤ k ≤ a [ i ] ) (j≠i,a[j]≤k≤a[i]) (j=i,a[j]ka[i])
  • 看看 f [ a [ i ] ] f[a[i]] f[a[i]]可不可以被拼出,拼出则删去。

这么暴力的算法竟然复杂度对的,没有任何卡人的直接过去了,去年T2真的水。


不说了不说了,没后记,自己都嫌唠叨。

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