一步步地分析排序——插入排序

前言

本文是对《算法》第四版插入排序所做的笔记，与选择排序相比较（之前也写过一篇文章，简单地分析了选择排序，有兴趣的可以看看：一步步地分析排序——选择排序），虽然插入排序也是初级排序算法，排序过程也不复杂，虽然我们考虑最坏的情况时，他和选择排序以及冒泡排序同样——都是平方阶的增量。但是在某些情况下，插入排序却显得很高效。插入排序最坏时为什么是平方阶？为什么在有的时候会很高效？又是在什么时候很高效？本文都会一一记录，本文的脉络如下：

• 概念
• 代码
• 时间成本
• 空间成本
• 输入对时间成本的影响
• 其他特性

概念

• 比喻：插入排序的过程类似于整理手里面的纸牌，从手中为零张纸牌起，一张张地往手里面插入纸牌，每插一张，都要保证插入之后手里的牌仍然顺序正确。
• 具体表述：以“将数组的元素按照递增序（严格地讲应该叫做非递减序，本文后续一些表述都将以非递减序为例子）进行排列”为例，插入排序的过程是：从插入第二个元素开始，每插入一个元素，都将新元素和他前面的第一个元素比较，如果前面的第一个元素更大，则互换他们两个的位置，然后，再将新元素和他前面的第一个元素相比，循环操作，直到遇到第一个小于（不大于）新元素的那个元素，到此，完成一个元素插入。循环该过程，直到整个数组完成排序。
• 体验过程：点击查看排序算法动态过程：
  http://visualgo.net/sorting

代码（C语言）

书本用的Java语言，而且为了表示通用性，还写成了”Comparable”的形式，我在这里为求简洁，就用C语言来描述。算法重要的是思想，不是语言层面这些东西，而且C语言写出的插入排序，和Java没有很大的区别。代码如下：

//插入排序，array:需要排序的数组，size:数组长度
void insertSort(int array[], int size)
{
    /*i记录当前排序的索引位置，j用做每个元素插入时的比较操作
    注意i是从1开始*/
    int i = 1,j;
    for(; ifor(j = i; j>0 && array[j-1]>array[j]; j--){
            exchange(array, j-1, j);
        }
    }
}

//互换数组里面索引p和q的元素
void exchange(int array[], int p, int q)
{
    int t = array[p];
    array[p] = array[q];
    array[q] = t;
}

时间成本

首先放出一个结论：插入排序时间成本受输入的影响。我们先分析每次插入的时间成本，再来分析整个算法总的时间成本，其实只要搞清楚了每次插入时的时间成本，总的成本自然就清晰了。另外按照书本约定，我们的时间成本表述为：比较次数+互换次数。

每次插入时间成本

仔细想想插入排序的过程，就会发现，每插入一个新元素，有且只有以下三个情况：
1. 如果新元素和他前面的所有元素相比，是最小的，那么新元素将会和前面所有元素逐一比较，并且还要互换位置，最后插入到最左边的位置上。如图(1)：

2. 如果新元素比他前面的第一个元素还大，那么新元素只会和他前面的那个元素比较一次大小，然后插入。如图(2)：

3. 如果新元素比他前面的第一个元素还小，但是和他左边那些已排序的元素相比，又不会是最小的，那么新元素将会和所有比它大的元素比较，并且会互换位置，直到遇到第一个比他小的元素，和该元素进行一次比较，不会发生位置互换，比较完后直接插入。如图(3)：

注意这里每个图片都只画了前面已排序的部分，后面的部分省略了。好了根据这些分析，我们得到插入一个元素时的几个情况：

• 最慢：如果新元素比他前面所有元素都还小，满足前面所说的第一个情况。此时，比较操作和互换操作所执行的次数是一样的。我们假设在新元素前面共有m个元素，那么这次插入将会发生m次比较，m次互换。时间成本为：2m。
• 最快：如果新元素比他前面的第一个元素还大，满足前面所说的第二个情况，那么这次插入只会发生一次比较，没有互换。所以本次插入的时间成本为：1。
• 不是最快不是最慢：如果新元素比他前面的第一个元素还小，但是又不是前面所有的元素里最小的，满足前面所说的第三根情况，此次插入比较操作次数==互换操作+1，由于最后一次比较，新元素遇到了第一个比他小的元素，所以最后一次只有比较，没有互换。我们假设前面的元素里共有k个元素比新元素更大，那么这次插入将会发生k次互换，(k+1)次比较，那么本次插入的时间成本为：2k+1。
  以上分析，得出两点：首先每插入一个新元素，只会出现三个情况。其次不论哪类情况，比较操作和互换操作的执行次数，都是有规律可循的。

算法的总时间成本

• 最快（输入顺序）：如果待排序的数组本来就已经是排好序的，那么每次插入一个元素，都将满足前面所分析的“每次插入时间成本最快情况”，所以每插入一个元素的时间成本都为：1。再者，由于插入排序是从插入第二个元素才开始操作，对于有N个元素的数组，只操作了(N-1)次，所以算法的总时间成本就为：N-1 = O(N)。
• 最慢（输入逆序）：如果待排序的数组本来是全逆序的，那么每次插入一个元素，都将满足前面所分析的“每次插入时间成本最慢情况”，所以每插入一个元素的时间成本都为：2m（注意这里每次的m都不一样）。同样，由于插入排序是从插入第二个元素才开始操作，对于有N个元素的数组，只操作了(N-1)次，所以算法的总时间成本就为：∑2m(其中m = 1,2,3…N-1) = N*(N-1) = O(N²)。
• 平均：平均情况下，插入排序需要进行约为(N²/4)次的比较+(N²/4)次的互换，所以算法的耗时为：O(N²)。

空间成本

和选择排序相类似，除了互换元素所需要的个别额外空间，插入排序没有其他空间占用，所以插入排序是原地排序算法，空间成本不随问题规模增大而增大。

输入对时间成本的影响

前面我们已经说过，插入排序时间成本受输入数组原有的顺序影响，同时也进行了一些分析（最快，最慢）。这里我们继续介绍，并且通过数组倒置的情况，更详细地介绍算法受输入数组原有的顺序影响。

倒置的概念：

倒置指的是数组中的两个顺序颠倒的元素。比如”EXAMPLE” 里有11对倒置：E-A、X-A、X-M、X-P、X-L、X-E、M-L、M-E、P-L、P-E、L-E。——《算法》第四版（中文版）

部分有序的数组：

如果数组中倒置的数量小于数组大小的某个倍数，那么我们说这个数组是部分有序的——《算法》第四版（中文版）

另外书本所列举的几类典型的部分有序的数组：

• 数组中每个元素距离它的最终位置都不远。
• 一个有序的大数组接一个小数组。
• 数组中只有几个元素的位置不正确。

插入排序时间成本与倒置的关系分析

• 插入排序“互换操作执行次数”和“数组中元素倒置的数量”间的关系：
  由插入排序的过程可以看出，插入排序每次执行一次互换，都在“纠正”一对倒置元素。所以数组里面有多少对倒置，互换操作就执行多少次。当所有的倒置都“纠正”了，插入排序就结束了，整个数组就有序了。

• 插入排序“比较操作执行次数”和“数组中元素倒置的数量”间的关系
  我们前面分析过每插入一个元素时的情况，得到比较的次数和互换次数之间是有规律可循，其实三类情况一共对应两类规律：对于最慢的情况，比较操作执行次数等于互换操作执行次数。剩下的两类情况，比较操作的次数等于互换操作的次数+1。基于这样的结论，再加上我们刚得出“数组里面有多少对倒置，互换操作就执行多少次。”我们现在就能得到：

  1. 比较操作执行次数不会少于（大于等于）倒置的次数。如果每次插入都满足了“最慢”情况，那么此时比较次数等于互换次数等于倒置数量。
  2. 比较操作执行次数不会多于（小于等于）倒置数量+数组长度-1。如果每次插入都满足了“最快”情况，那么此时比较次数==倒置数量+数组长度-1（这个数字其实就是互换次数+数组长度-1，就是N-1）。

• 小结：为什么要详细分析倒置和比较操作、互换操作的关系？因为倒置在一定程度上反映“输入情况”，前面我们也约定了时间成本=比较次数+互换次数。所以这一大串的分析，可以认为是在分析输入对时间成本的影响，而且是定量分析。

其他特性

这个分析的比较少，主要两点

• 插入排序，当前索引左边的元素，都是相对有序的，但是他们未必在最终的位置上面。和选择排序相比较，有些不同，选择排序，当前索引左边的元素，不但是相对有序的，而且它们都已经在它们最终的位置上。而插入排序，虽然这些元素相对位置都是对的，但随着新元素插入，它们可能会被移动。
• 插入排序不会访问当前索引右侧元素，这里指的是当插入一个新的元素，而且在将它插入到正确的位置的过程里，插入排序只会访问左边那些已有序的元素，不会访问右边元素。这也是和选择排序进行对比，选择排序是在右侧选择新的元素，反而不会访问左侧元素。