dx,dy是什么?

这个问题让我们从曲线的微分开始说起。

1 曲线的微分

比如,有曲线 :

dx,dy是什么?_第1张图片

给出 的曲线段:

dx,dy是什么?_第2张图片

要找到一个直线段来近似这个曲线段,也就是找到这个曲线段的微分:

dx,dy是什么?_第3张图片

此微分的特点是,当 时,越来越逼近曲线段:

dx,dy是什么?_第4张图片

2 切线

这个微分其实就是切线。

2.1 最初印象

初学几何的时候,切线是这么定义的:

比如这就是圆、椭圆的切线:

dx,dy是什么?_第5张图片

但是这个定义推广到所有曲线上是不成立的:

dx,dy是什么?_第6张图片

2.2 割线的极限

我们需要用极限来定义切线。比如说,要求曲线 在 点的切线:

dx,dy是什么?_第7张图片

在 附近找一点 ,过两点作直线 ,这根直线也称为割线:

dx,dy是什么?_第8张图片

然后寻找 与 之间的点 ,作出割线 :

dx,dy是什么?_第9张图片

以此类推,找到点 ,作出割线:

dx,dy是什么?_第10张图片

把这些割线组成数列:

它的极限 就是切线:

dx,dy是什么?_第11张图片

3 导数

刚才只是给出了切线的定义,但是还是不能把切线求出来。下面来看看怎么求。

3.1 斜率

要求 点的切线,知道了 点坐标为 ,以及切线的斜率:

dx,dy是什么?_第12张图片

其中 ,根据直线的点斜式,可求得切线函数 :

就可以得到切线的函数。

3.2 导数

容易有以下推论:

所以来看看割线的斜率怎么求吧。假设要求 点的切线的斜率,随便在附近找一点 作割线:

dx,dy是什么?_第13张图片

可以看到当 的时候(这也表明了切线是割线的极限),两者斜率不断逼近:

dx,dy是什么?_第14张图片

先把割线的斜率 算出来,假设 :

dx,dy是什么?_第15张图片

因此:

根据刚才的分析可知:

这个极限就被称为 。

如果,不光在 点可以作出切线,也就是不光在 点可导,而是在某个开区间 内都可导,这就是 :

dx,dy是什么?_第16张图片

不少教科书、文档会出现如下的符号,这里也一并引入:

定义 ,称之为 ,导函数可以用之表示为:

有时候写作 ,表明对自变量 求导。

算子,英文为“operator”,操作的意思。

算子和函数还是很接近的,只是有以下区别:

\begin{array}{c|c}    \hline\\    \quad 函数 \quad&\quad 数到数的映射 \quad\\     \quad 算子 \quad&\quad 函数到函数的映射 \quad\\    \\\hline\end{array}

在这里, 算子完成了如下函数之间的映射:

4 切线函数与微分函数

好了,咱们有了导数,可以来求切线函数以及微分函数了。

4.1 切线函数

就切线而言,知道要经过 ,也知道斜率是导数 ,可以用直线的点斜式得到切线函数:

4.2 微分函数

虽然之前一直说切线就是微分,但是微分函数和切线函数有所不同,因为它们在不同的坐标系。让我们一步步来,把这个关键点说清楚。

首先令 ,切线函数就变为了:

然后在以 点为原点建立直角坐标系(姑且称为微分坐标系吧):

dx,dy是什么?_第17张图片

以 点为原点建立的微分坐标系中有, 。这样在微分坐标系中切线方程就很简单了:

经过一系列操作终于得到了微分函数:

数学上把一系列操作用一个符号 来表示,也可称为 :

微分 算子完成了下列的函数映射:

所以微分函数也写作:

表示把原函数 通过 操作变为了微分函数 ,这样也区别了微分函数和 坐标系不同。

 ,因为 是变量,所以 实际上表示的是整个 轴:

dx,dy是什么?_第18张图片

因为 代表 轴这根直线,而直线的微分,根据以直代曲的思想,其实就是自己,所以:

因此,这就是微分的代数形式:

切线函数和微分函数的区别在于,前者在 坐标系下,后者在 坐标系下:

dx,dy是什么?_第19张图片

因为微分的代数形式如上,所以导数也可以记作:

所以导数也称为“微商”,即微分与微分的商。

4.3 微分的自变量、因变量

本节一直都在说,微分是函数:

那么它的自变量是什么,因变量是什么?

微分函数在 坐标系下,令 ,换元之后就回到了 坐标系:

可见,自变量是 ,因变量是 。

如果不光是求 点的微分,就像导函数一样,求某个开区间的微分,那么微分函数是二元函数:

4.4 微分是线性函数

虽然两者都是直线,但因为所在坐标系不同,所以切线函数和微分函数有一个重大的区别:

dx,dy是什么?_第20张图片

这个区别说明:

\begin{array}{c|c}    \hline    \quad\quad&\quad线性函数\quad\\    \hline \\    \quad \color{blue}{切线函数} \quad&\quad ☓\quad\\     \quad \color{orange}{微分函数} \quad&\quad \checkmark\quad\\    \\\hline\end{array}

根据微分是线性函数这点,我们可以很方便地运用线性代数的知识来求解法线函数。

4.5 法线函数

在切点与切线垂直的直线就是法线:

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放在 坐标系中,随便找到切线方向、法线方向两个向量:

dx,dy是什么?_第22张图片

即(t代表tangent,n代表normal,分别是英文的切线和法线):

根据线性代数的知识,知道两个正交向量点积为0,因此:

所以:

知道法线斜率,并且知道过 ,就可以求出 坐标系下的法线函数:

最新版本可以参看:dx,dy是什么?

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