算法学习笔记——回溯法

一、基本概念

回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程,主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解,当发现已不满足求解条件时,就“回溯”返回,尝试别的路径。

回溯法是一种选优搜索法,按选优条件向前搜索,以达到目标。但当探索到某一步时,发现原先选择并不优或达不到目标,就退回一步重新选择,这种走不通就退回再走的技术为回溯法,而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

许多复杂的,规模较大的问题都可以使用回溯法,有“通用解题方法”的美称。

二、基本思想

在包含问题的所有解的解空间树中,按照深度优先搜索的策略,从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时,要先判断该结点是否包含问题的解,如果包含,就从该结点出发继续探索下去,如果该结点不包含问题的解,则逐层向其祖先结点回溯。(其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法)。

若用回溯法求问题的所有解时,要回溯到根,且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。而若使用回溯法求任一个解时,只要搜索到问题的一个解就可以结束。

三、一般步骤

    (1)针对所给问题,确定问题的解空间:首先明确定义问题的解空间,问题的解空间应至少包含问题的一个(最优)解

    (2)确定结点的扩展搜索规则

    (3)以深度优先方式搜索解空间,并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索

四、算法框架

 设问题的解是一个n维向量(a1,a2,………,an),约束条件是ai(i=1,2,3,…..,n)之间满足某种条件,记为f(ai)。

(1)非递归回溯框架

   int a[n],i;
   初始化数组a[];
   i = 1;
   while (i>0(有路可走)   and  (未达到目标))  // 还未回溯到头
	{
      if(i > n)                                              // 搜索到叶结点
		{   
              搜索到一个解,输出;
		}
       else                                                   // 处理第i个元素
		{ 
             a[i]第一个可能的值;
             while(a[i]在不满足约束条件且在搜索空间内)
            {
                 a[i]下一个可能的值;
            }
             if(a[i]在搜索空间内)
            {
                 标识占用的资源;
                 i = i+1;                              // 扩展下一个结点
            }
            else 
			{
                 清理所占的状态空间;            // 回溯
                 i = i –1; 
            }
		}
	}

(2)递归的算法框架

回溯法是对解空间的深度优先搜索,在一般情况下使用递归函数来实现回溯法比较简单,其中i为搜索的深度,框架如下:
  
 int a[n];
   try(int i)
	{
      if(i>n)
          输出结果;
        else
        {
           for(j = 下界; j <= 上界; j=j+1)  // 枚举i所有可能的路径
           {
              if(fun(j))                 // 满足限界函数和约束条件
                {
                   a[i] = j;
                 ...                         // 其他操作,如回溯前的清理工作(如a[i]置空值等);
                   try(i+1);
                 
                 }
            }
        }
	}

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