有限存储的计算机等价于有限自动机（DFA、NFA）

B={0n1n|n≥0} B = { 0 n 1 n | n ≥ 0 }

• Michael Sipser 的 Introduction to the Theory of Computation 的1.4提到一个非正则语言的例子， B={0n1n|n≥0} B = { 0 n 1 n | n ≥ 0 } ，并用Pumping lemma证明了其是非正则的，无法被DFA识别
• 但是我们的计算机似乎可以识别以上语言，所以，为什么我们的计算机还是DFA呢
• 事实上，我们的计算机只能识别n处于一定范围的B，而不能识别n为任意值的B。如果n过大，我们的计算机的存储单元无法表达，则会发生溢出，导致识别了另一个语言 C={0n1m|n mod max=m mod max} C = { 0 n 1 m | n   m o d   m a x = m   m o d   m a x } ，其中，max是我们的计算机的存储单元可以表达的最大值
• 如果是n处于一定范围内，容易构造出一台DFA识别B：
  
  • 设有两个变量a、b，a、b都可以取值 [0,1000] [ 0 , 1000 ] ，a表示0的数量，b表示1的数量
  • 那么，a、b的所有笛卡尔积组成的集合的一个子集就是该DFA的状态集
  • 转移方程为
  • 首先： <0,0>→<1,0>→<2,0>→...→<1000,0> < 0 , 0 >→< 1 , 0 >→< 2 , 0 >→ . . . →< 1000 , 0 >
  • 然后：从任意 <n,0> < n , 0 > 都可以转移到 <n,1> < n , 1 >
  • 然后：一旦转移到 <n,1> < n , 1 > ，就不能转移到 <n+k,m>,(k>0) < n + k , m > , ( k > 0 ) ，也就是不能增长n的值
  • 最后：一旦转移到 <n,n> < n , n > 就accept

为什么现实中的计算机有可能是DFA

• 计算机只有有限存储，such as，某计算机有 232 2 32 个8bit的cell，每个cell有 28 2 8 种取值，所以，所有存储的取值有 (28)232 ( 2 8 ) 2 32 种，也就是，这台计算机的存储只能有 (28)232 ( 2 8 ) 2 32 种状态，这就使得把计算机转为DFA变为可能

对任意一段代码构造等价的NFA

NFA构造方法描述

• 假设该段代码的运行过程会改变的存储cell有c1、c2、c3、c4、c5，其中，c1到c5的取值范围都是[0,0xFF]，那么就可以构造 (28)5 ( 2 8 ) 5 个 <c1,c2,c3,c4,c5> < c 1 , c 2 , c 3 , c 4 , c 5 > ，作为该NFA的状态集合

• 输入字符表是 {0,1} { 0 , 1 } ，将所有计算机接受的输入全部编码成bit 串后读入该DFA，每次读一个0或者一个1

• 假设该代码起始时，c1到c5的取值为 0,0,0,0,0 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ，则 <0,0,0,0,0> < 0 , 0 , 0 , 0 , 0 > 就是起始态

• 假设该段代码处于accept状态时，c1到c5的取值分别为 1,2,3,4,5 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ，那么， <1,2,3,4,5> < 1 , 2 , 3 , 4 , 5 > 就是该NFA的accept state
• 该代码可以有输入，也可以无输入，可以在多个时候输入，也可以只在一个时候输入。假设其某次输入处于 <d1,d2,d3,d4,d5>​ < d 1 , d 2 , d 3 , d 4 , d 5 > ​ ，输入后处于 <d6,d7,d8,d9,d10>​ < d 6 , d 7 , d 8 , d 9 , d 10 > ​ ，则在从 <d1,d2,d3,d4,d5>​ < d 1 , d 2 , d 3 , d 4 , d 5 > ​ 到 <d6,d7,d8,d9,d10>​ < d 6 , d 7 , d 8 , d 9 , d 10 > ​ 是一个转移，转移使用的字符就是读入的字符。该代码也可以在无输入情况下由cpu作用，从一个状态转移到另一个状态，则在这两个状态之间使用 ε​ ε ​

为什么该NFA只接受允许的字符串，而不会接受多余的字符串

• 首先，可以使用以上方法对于每个接受的字符串都构造NFA，则该NFA只接受允许的那个字符串
• 设置一个新的起始态，该起始态有 ε ε 到所有为每个字符串构造的NFA
• 则最终的NFA只接受允许的字符串

是否会出现情况：代码两次处于某状态但是行为不一样

• 答案是肯定不会
• 计算机的行为由当前状态决定——下一步要执行什么代码，取决于正在被执行的代码段，以及ip寄存器的值，如果text段的内容相同，cs:ip寄存器的相同，指令使用的值也相同，那么下一步的行为就是确定的

对任意一台计算机构造等价的DFA

• 对于一台确定的计算机可以构造出确定的DFA，执行该计算机可以做的任何计算
• 先说明一些前置情况：
  
  • 现实中计算机使用源码处理特定的输入
  • 把现实中计算机处理该输入的源码编码成确定长度（统一取最大长度M——M是该计算机可以存储的最长比特串长度，比如 240 2 40 比特）的字符串，每个字符表示一个指令——这个其实等价于把源码编译成机器码（每个机器指令由一样的长度的比特串表示），然后把这个比特串补全成统一长度M
• 因为源码是M比特长，所以最多有 2M 2 M 种不同的源码，根据上文，可以为每种源码构造一个DFA
• 然后开始构造DFA
  
  • 该DFA分为两个部分：第一个部分解释输入的源码字符串，第二个部分实际运行输入的源码来跑输入的数据——即实际运行 2M 2 M 个不同的DFA中的一个
  • DFA第一个部分，其读入长度M的字符串（也就是源码），从而把该台DFA导向某个状态，这个状态是 2M 2 M 个实际运行代码的DFA中的一个的起始态
  • 第二部分就是那 2M 2 M 台DFA，其接受输入，并最终停在某个状态——accept态或者是其他状态
• 从而该DFA接受 ∪Ai ∪ A i ，其中 Ai A i 是该计算机可以运行的任意一段代码接受的字符串集合

计算机可以死循环，DFA不会死循环，为什么

• consider that，死循环指的是无输入情况下，不停机，而不是无限输入导致的不停机。

• 因为计算机的状态是有限的，所以，如果计算机死循环，那么其必然会重复处于某个状态，进而导致行为的重复——因为计算机的当前状态唯一确定了以后的行为。

• 在NFA，这种情况死循环的状况也会发生——一组状态以 ε ε 连接在一起形成环，从而导致无限读入 ε ε ，无限循环

• 截断导致NFA死循环的那个环，并不会影响接受的语言。假设该环是s1、s2、s3、s1，那么我们可以把其变成三条路：“s1、s2、s3”，“s2、s3、s1”，“s3、s1、s2” ，非形式化来说，因为这不会改变该图的连通性，所以接受的字符串集合不变

• 而按照Introduction to the Theory of Computation 的1.2节的*EQUIVALENCE OF NFAS AND DFAS*DFA 描述的方法，其正是去掉了这种 ε ε 环，所以不会死循环，具体去掉的方法如下（截图来自书本英文第三版P56）：

  

  E(R) E ( R ) 是一个集合，集合中元素不重复，而 ε ε 环所到达的状态必然是重复的，所以就把 ε ε 环断开了