数字逻辑——第一章开关理论基础(2)

化简逻辑函数

采用公式法化简

基本布尔代数公式

1. 结合律 (A+B)+C=A+(B+C)
2. 交换律 AB=BA
3. 分配律 A(B+C)=AB+AC   A+BC=(A+B)(A+C)
4. ※第摩根定律 ~(AB)=~(A)+(~B)    ~(A+B)=(~A)(~B)     注意~(AB)!=(~A)(~B)

布尔代数中的规则

使用布尔代数时，可根据下面的规则得到更多的公式，也可以得到更多的正确的结果。如你有一个“或与”式，而结果要求写出“与或”式，那么你可以通过对偶规则直接得出，可以省去分配的过程。

代入规则——扩大基本公式中变量的个数

如经典第摩根定律~(AB)=~A+(~B)，只有两个变量。使用代入规则，令B=CD, 即

~(ACD)=~A+~(CD)=(~A)+(~C)+(~D)

就得到了三变量的第摩根定律

反演规则——求出一个逻辑函数F的非函数~F

其实就是第摩根定律。
①将F中的”与运算”变成”或运算”，”或运算“变”与运算“
②再将”原变量“（如A）变成”非变量“（~A），”非变量“（如~A）变成”原变量“（A）
③并将1变成0，0变成1。

对偶规则——恒等式

对偶式：
①将F中的”与运算”变成”或运算”，”或运算“变”与运算“
②并将1变成0，0变成1
对偶规则：如果F=W，那么F’=W‘（F’为F的对偶式）
注意对偶式和非函数的区别：在于反演规则的第二点
注意对偶规则和反演规则的区别：对偶规则需要用到等式两侧恒相等，或者说等式两边的函数真值表相同，而反演规则不需要。

用布尔代数公式化简逻辑函数的方法

并项法

其实就是分配律的逆用，一般比较好认

AB+A(~B)=A

吸收法——寻找最长公共因子

A+AB=A
证明：A+AB=A(1+B)=A
诀窍：寻找最长公共因子，如果几个式子的最长公共因子也单独是一个式子的化，则最长因子可以将其他吸收。

消去法——寻找两个互为非函数的函数

第一种消去——消去自身的一部分

A+(~A)B=A+B
证明：A+(~A)B=A+AB+(~A)B=A+B
变式：AB+(~AB)C=AB+C (代入规则)
变式：(~AB)+ABC=(~AB)+C （代入规则）
变式：A+(~A)BC+(~A)DE=A+BC+DE
诀窍：寻找式子中的互为非函数的函数

第二种消去，消去冗余项

AB+(~A)C+BC=AB+(~A)C
证明：AB+(~A)C+BC
\ \ \ \ =AB+(~A)C+(~A+A)BC
\ \ \ \ =AB+(~A)C+(~A)BC+ABC
\ \ \ \ =AB+(~A)C（吸收）
变式：AB+(~A)C+BCDEF=AB+(~A)C
诀窍：观察到有互为非函数的函数，可以看看有没有冗余项。

添加项法

这是一种技巧没有公式，在你试过上面的方法后仍然觉得这道题没有办法化简，那么就试试先添加一些项，我们上面的证明也用到了添加项法——第一种消去的证明

配项法

定理：1=A+(~A)

逻辑函数的多种表达形式

公式法化简逻辑函数的最简标准

上面的证明也用到了配项法，如第二种消去的证明

采用卡诺图化简

基本步骤

①画出逻辑函数的卡诺图
②合并相邻的最小项（圈组）
③从圈组写出最简与或表达式
关键是第二步能否正确圈组
圈组原则：
①必须按照2、4、8…来圈取值为1的相邻最小项
②每个取值为1的相邻最小项至少被圈一次，每个圈中至少包含一个只被圈一次的项
③圈要大，圈的个数要少。