方向导数与梯度(二维)

方向导数：
定义：函数沿某一指定方向的变化率
定理：如果函数 f(x,y) f ( x , y ) 在点 P0(x0,y0) P 0 ( x 0 , y 0 ) 可微分，那么函数在该点沿任一方向 l l 的方向导数都存在，且方向导数：

∇f∇l|x0,y0=[fx(x0,y0),fy(x0,y0)]el ∇ f ∇ l | x 0 , y 0 = [ f x ( x 0 , y 0 ) , f y ( x 0 , y 0 ) ] e l

el(方向l的单位向量)=(cosα,cosβ) e l ( 方 向 l 的 单 位 向 量 ) = ( cos ⁡ α , cos ⁡ β )

梯度：
定义：函数在区域内某一点的具有方向的全微分
设函数 f(x,y) f ( x , y ) 在区域 D D 内具有一阶连续偏导数，则对于区域 D D 内的任一点 P0(x0,y0) P 0 ( x 0 , y 0 ) ，有梯度：

∇f(x0,y0)=grad f(x0,y0)=fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)j ∇ f ( x 0 , y 0 ) = g r a d   f ( x 0 , y 0 ) = f x ( x 0 , y 0 ) i + f y ( x 0 , y 0 ) j

其中

∇=∂∂xi+∂∂yj ∇ = ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j

称为 向量微分算子/Nabla算子

与方向导数相联系，可得：

∂f∂l|x0,y0=∇f(x0,y0)el=|∇f(x0,y0)|cosθ ∂ f ∂ l | x 0 , y 0 = ∇ f ( x 0 , y 0 ) e l = | ∇ f ( x 0 , y 0 ) | cos ⁡ θ

θ=(∇f(x0,y0),el)ˆ θ = ( ∇ f ( x 0 , y 0 ) , e l ) ^

由上述联系可得：

• 当 θ=0或el与∇f(x0,y0)的方向相同 θ = 0 或 e l 与 ∇ f ( x 0 , y 0 ) 的 方 向 相 同 时，函数 f(x,y) f ( x , y ) 增长最快，此时函数在这个方向的方向导数达到最大值， ∂f∂l|(x0,y0)=|∇f(x0,y0)| ∂ f ∂ l | ( x 0 , y 0 ) = | ∇ f ( x 0 , y 0 ) |
• 当 θ=π或el与∇f(x0,y0)的方向相反 θ = π 或 e l 与 ∇ f ( x 0 , y 0 ) 的 方 向 相 反 时，函数 f(x,y) f ( x , y ) 减少最快，此时函数在这个方向的方向导数达到最小值， ∂f∂l|(x0,y0)=−|∇f(x0,y0)| ∂ f ∂ l | ( x 0 , y 0 ) = − | ∇ f ( x 0 , y 0 ) |
• 当 θ=π2或el与∇f(x0,y0)的正交 θ = π 2 或 e l 与 ∇ f ( x 0 , y 0 ) 的 正 交 时，函数 f(x,y) f ( x , y ) 变化率为零，此时函数在这个方向的方向导数为0， ∂f∂l|(x0,y0)=0 ∂ f ∂ l | ( x 0 , y 0 ) = 0

梯度的运算法则：

• ∇(Cf)=C∇f ∇ ( C f ) = C ∇ f
• ∇(f±g)=∇f±∇g ∇ ( f ± g ) = ∇ f ± ∇ g
• ∇(f·g)=f∇g+g∇f ∇ ( f · g ) = f ∇ g + g ∇ f
• ∇(fg)=f∇g−g∇fg2 ∇ ( f g ) = f ∇ g − g ∇ f g 2