最小化曼哈顿距离

曼哈顿距离

曼哈顿距离和欧式距离一样是一种距离度量标准，不同的是它定义在L1范数下，也即用绝对值来衡量两点之间的距离。在一维空间下，曼哈顿距离定义如下：
$$d(x,y)=|x-y|$$
在二维空间下，曼哈顿距离定义如下：
$$d(x,y)=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|$$
类似的，我们可以获得在n维空间下的曼哈顿距离定义。

最小化一维曼哈顿距离

有了距离定义之后，我们看一个有趣的问题：给定n个一维空间下的点，求使$\sum |x_i-a|$最小的点$a$。针对该问题我们有明确的答案：$a$的取值就是$n$个点的中位数。在quora上有一个比较浅显易懂的解释：在笔直的公路上种了n颗树，假设我们从中间颗树的位置开始往两个方向走，我们会发现不管往哪个方向走，我们都距离至少n/2颗树越来越远，而距离至多n/2颗树越来越近，所以上述距离总是在变大，从而说明使上述距离最小的点是中位数。下面给出数学证明：
我们假定使上述距离最小的点可以出现在数轴任意位置，既可以是n个点中的任意一个，也可以不属于n个点，我们分这两张情况讨论：

1. 假设n个点已排序，选择第k个点计算距离，则有
   
   同理，选择第k+1个点计算距离，则有
   
   我们想知道当k逐渐变大时，距离的变化趋势，所以我们将上述两个距离做差
   
   由于我们已经将n个点排序，所以$x_k-x_{k+1}$始终小于等于0，当k小于等于n/2时，2k-n小于等于0，从而上式大于等于0；当k大于等于n/2时，2k-n大于等于0，从而上式小于等于0。这表明随着k逐渐增大，距离先变小再变大，在k=n/2时取得最小值。具体的，当n=2k为偶数时，上式在k和k+1位置处相等并取得最小值；当n=2k+1为奇数时，上式在k+1位置处取得最小值，此时即是中位数。将奇偶两种情况统一考虑，在k+1也即n/2+1位置处我们可以获得距离最小值。
2. 假设使距离最小的点不是给定的n个点，则最优位置可以是数轴上的任意位置。很显然的，首先可以将n个数确定范围之外的区间都排除掉，也即最优点既不可能小于n个点中的最小值也不可能大于n个点中的最大值。这样剩余需要考虑的最优点就可能是n个点之间的小区间。我们研究一下曼哈顿距离在这段区间上的变化趋势。选择任意一段区间$x_k<c_1<c_2<x_{k+1}$，重新计算
   
   从上面的公式我们可以看出，当k小于等于n/2时，距离公式满足$d(x_k)>d(c_1)>d(c_2)>d(x_{k+1})$，当k大于等于n/2时，$d(x_k)<d(c_1)<d(c_2)<d(x_{k+1})$。也即在整个连续空间上距离先减后增。从而当n=2k为偶数时，区间$[x_{n/2},x_{n/2+1}]$之间的任意数均可以取得最小值，当我们取$(x_{n/2}+x_{n/2+1})/2$时即表示中位数；当n=2k+1为奇数时，距离在k+1位置处取得最小值，此时还是中位数。
   通过对离散和连续两种情况的考虑，我们可以得到结论：使上述公式取最小值的元素为中位数，不过我们可以统一选择排序之后的第n/2+1个元素，奇偶均如此。

最小化高维曼哈顿距离

由于在高维曼哈顿距离中只有加法操作，所以我们可以将每个维度分开考虑，在每个维度上分别按照一维的情况求排序后的第n/2+1个元素，然后组合起来即是最小化的高维曼哈顿距离。

最小化带权曼哈顿距离

有时我们还会遇到比上面更复杂的情况：每个点除了坐标$x_i$还都附带一个权重$w_i$，求使$\sum w_i|x_i-a|$最小的点$a$。在此我们也给出推导过程，看看使距离最小的点在什么位置。在上面的证明中我们分离散和连续两种情况考虑，在此我们直接考虑n个点确定的连续区间。假定给n个点已排序，给定点c满足$x_k\le c<x_{k+1}$我们求

通过推导我们发现，影响距离变化的因素只是受制于权重，更确切地说是受制于前半部分权重和与后半部分权重和的差值。当$\sum _{i=1}^k{w}_i<\sum _{i=k+1}^n{w}_i$时，$d(c)>d(x_{k+1})$，此时距离在连续区间上逐渐变小；当$\sum _{i=1}^k{w}_i>\sum _{i=k+1}^n{w}_i$时，$d(c)<d(x_{k+1})$，距离在连续区间上又开始逐渐变大。所以使距离最小的位置k满足$\sum _{i=1}^{k-1}{w}_i<\sum _{i=k}^n{w}_i$并且$\sum _{i=1}^k{w}_i\ge \sum _{i=k+1}^n{w}_i$，含义就是前半部分权重和原本小于后半部分权重和，加上下一个位置的权重之后大小关系发生转变的位置。所以针对带权曼哈顿距离，我们需要做的就是将n个点排序，然后累加权重直到左侧权重大于右侧权重停止，此时就是使距离最小的位置。特别地，当n个点的权重均为正，且和为1时，分界点就是累加之后权重之和超过0.5的位置，这个位置被称为带权中位数（详细定义请参考算法导论）。
可以看出不管曼哈顿距离是否带权重，使距离最小的位置总是和中位数相关。希望上面的推导能有助于大家理解最小化曼哈顿距离。