【题解】CF808G Anthem of Berland

题意

传送门 luogu

题解

dp与kmp的巧妙结合。

设文本串s长度为$n$，模式串t长度为$m$。题面中赤裸裸地告诉你$nm\le 10^7$，这就摆明了复杂度应该在$O(nm)$这个级别，这个$n$的复杂度肯定是扫一遍s，至于$m$，可以猜想是对于s的每个位置进行暴力的匹配。

我们可以考虑用dp来解决这个问题。设$f_i$表示t在s的前$i$个位置最大的出现次数。那么如果一个位置想从之前的位置转移过来，就必须满足t能在这个位置与s匹配，这一部分可以$O(m)$暴力判断。

具体怎么转移呢？首先很明显可以直接从$f_{i-m}$转移过来，表示$i-m+1\sim i$这段放一个完整的t。

但是这还不够，因为有可能在这个位置之前连续而重叠地放了好几个t，也就意味着新放进去地这个t并不是完整地，而是和上一个t的后缀重叠构成的。那么这就需要满足t的一段后缀和一段前缀相等。

这就令我们想到了kmp算法中的next数组。我们可以通过从m开始一直跳next，来保证前缀与后缀相等。

但是又有一个问题，假设我们现在长度为$k$的前后缀相等，我们却不能直接从$f_{i-(m-k)}$转移，因为$f$的定义并不能保证$f_{i-(m-k)}$这个位置上一定放了t。

所以我们再定义一个$g_i$，表示s的前$i$个位置，强制最后放一个t的最大出现次数。那么这样我们上面的情况就可以通过$g$之间的转移来实现了。即$g_i=\max \{g_{i-(m-k)}+1,g_i\}$，一直跳next更新即可。

转移完$g$之后，我们再令$f_i=\max \{f_{i-1},g_i\}$，也就是考虑放和不放t两种情况。

代码

#include 
#define MAX 100005
using namespace std;

char s[MAX], t[MAX];
int n, m;
int Next[MAX], f[MAX], g[MAX];

bool chk(int p){
    for(int j = 1; j <= m; j++){
        if(s[p-j+1] != t[m-j+1] && s[p-j+1] != '?') return false;
    }
    return true;
}

int main()
{
    scanf("%s%s", s+1, t+1);
    n = strlen(s+1), m = strlen(t+1);
    for(int i = 2, j = 0; i <= m; i++){
        while(j && t[j+1] != t[i]) j = Next[j];
        if(t[j+1] == t[i]) j++;
        Next[i] = j;
    }

    for(int i = 1; i <= n; i++){
        f[i] = f[i-1];
        if(chk(i)){
            g[i] = f[i-m]+1;
            for(int j = Next[m]; j; j = Next[j]){
                g[i] = max(g[i], g[i-(m-j)]+1);
            }
            f[i] = max(f[i], g[i]);
        }
    }
    cout << f[n] << endl;

    return 0;
}