卷积定理的证明

 

今天终于搞明白了卷积定理的证明,以前一直拿来就用的“时域卷积等于频域点积”终于得以揭秘:

 

直接证明一下连续情况好了,很容易推广到离散域(我不会):

 

傅里叶变换的定义是:

    FT(f) = integrate [-inf,+inf] f(t)*e^(-i*w*t) dt

卷积的定义是(先用@冒充一下卷积的算符qwq,学完latex一定改):

    f @ g = integrate [-inf,+inf] f(k)*g(t-k) dk

很容易证明傅里叶变换的时移(Time Shift)性质:

    FT( f(t-ts) ) = integrate [-inf,+inf] f(t-ts)*e^(-i*w*t) dt

          令u = (t-ts)

          = integrate [-inf,+inf] f(u)*e^(-i*w*(u+ts)) dt

          = e^(-i*w*ts)* integrate [-inf,+inf] f(u) du

          = FT(f)*e^(-i*w*ts)

    综上:   FT( f(t-ts) ) = FT(f)*e^(-i*w*ts)

利用此引理可以很容易地证明卷积定理。

首先把卷积定理"时域卷积等于频域点积"化为数学语言:

    FT(f @ g) = FT(f)*FT(g)

下面对它进行证明:

    FT(f @ g) = integrate[-inf,+inf] [ integrate[-inf,+inf] f(k)*g(t-k) dk ] *e^(-i*w*t) dt

          = double_integrate [-inf,+inf] f(k)*g(t-k)*e^(-i*w*t) d(k,t)

          = integrate [-inf,+inf] f(k)* [ integrate [-inf,+inf] g(t-k)*e^(-i*w*t) dt ] dk

          = integrate [-inf,+inf] f(k)*FT(g)*e^(-i*w*k) dk

          = FT(f)*FT(g)

    证毕

就是这么简单,抽离无关变量,交换积分顺序,利用时移就可以轻松证明了~

 

 

 

后记:

  学latex是不可能的,这辈子是不可能学latex的

转载于:https://www.cnblogs.com/lovely-lazy-tag-zly/p/7922377.html

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