[EE261学习笔记] 12.离散傅里叶变换(DFT)

不同于网上的直接推导离散傅里叶变换的方法，本文将从连续傅里叶出发，用采样近似的方法来推导出离散傅里叶变换

推导的思路是：

1. 先对连续函数 $f$ 进行离散化操作，即采样，得到离散的点 $f_{\text{sampled}}$ 。
2. 然后对其傅里叶变换 $\mathcal{F}(f_{\text{sampled}})$ 进行采样，得到 $(\mathcal{F}(f_{\text{sampled}}){)}_{\text{sampled}}$
3. 最后，再将连续傅里叶变换本身 $\mathcal{F}$ 也转换为对应的离散形式 ${\mathcal{F}}_{\text{sampled}}$

总的来说，离散傅里叶变换（DFT）就是用离散的点来近似得到 $f$，$\mathcal{F}f$ 以及 $\mathcal{F}$

---

第一步

首先需要说明的一点是：在连续傅里叶变换中，一个信号不能同时在时域、频域都受到限制。
举一个简单的例子，如果时域中的信号是矩形函数，即被限制在某一范围内，其他点的值均为 $0$ ，那么它的傅里叶变换就是 $sinc$ 函数，即在频域中是不受限的。反之亦然。

但是作为离散傅里叶变换，我们希望探究的问题无论在频域还是在时域内都是有限的（根据采样而定）。为了导出有限值，我们不妨先假定研究的函数在时域、频域内都受限。

设 $f(t)$ 在时域内受限，$0\le t\le L$
对应的 $\mathcal{F}f(s)$ 在频域内受限，$0\le s\le 2B$，其中 $B$ 为带宽（注意为了方便计算，我们将区间从 $-B\le s\le B$ 平移了）

根据上一章的内容可知，以两倍带宽作为采样频率可以保留完整的信息，因此我们不妨把采样频率设为$2B$，相当于我们在时域上每隔$\frac{1}{2B}$的距离取一个点，如下图

于是，在时域中的采样点个数就是$N=\frac{L}{\frac{1}{2B}}=2BL$，每个采样点在时域中的横坐标就应为：$t_0=0,t_1=\frac{1}{2B},\dots ,t_{N-1}=\frac{N-1}{2B}$，对$f(t)$进行采样，采样位置为$t_0,t_1,\dots ,t_{N-1}$，可以得到$f_{\text{sampled}}(t)$：

$$\begin{array}{rl}{f}_{\text{sampled}}(t)& =f(t)\delta (t-t_0)+f(t)\delta (t-t_1)+\cdots +f(t)\delta (t-t_{N-1})\\ & =\sum _{k=0}^{N-1}f(t)\delta (t-t_k)\\ & =\sum _{k=0}^{N-1}f(t_k)\delta (t-t_k)\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

---

第二步

对 $(1)$ 式进行连续傅里叶变换，注意 $(1)$ 式中变量是 $(t)$，故 $f(t_k)$ 实际上是一个常量

$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}{f}_{\text{sampled}}(s)& =\sum _{k=0}^{N-1}f(t_k)\mathcal{F}\left(\delta (t-t_k)\right)\\ & =\sum _{k=0}^{N-1}f(t_k)e^{-2\pi is{t}_k}\end{array}$$

用与第一步类似的方法，与 $2B$ 类似，我们将 $L$ 定为在时间上的一个限制，于是，根据频率与时间的倒数关系，我们可以在频域内对函数进行采样，采样间隔为 $\frac{1}{L}$。如下图：

于是，在频域中的采样点个数就是 $M=\frac{2B}{\frac{1}{L}}=2BL$，我们发现 $M=N$，因此，每个采样点在频域中的横坐标就应为：$s_0=0,s_1=\frac{1}{L},\dots ,s_{N-1}=\frac{N-1}{L}$，对 $\mathcal{F}f(s)$ 进行采样，采样位置为 $s_0,s_1,\dots ,s_{N-1}$，可以得到 $(\mathcal{F}{f}_{\text{sampled}}{)}_{\text{sampled}}(s)$：

$$\begin{array}{rl}(\mathcal{F}{f}_{\text{sampled}}{)}_{\text{sampled}}(s)& =\sum _{k=0}^{N-1}f(t_k)e^{-2\pi is{t}_k}\sum _{m=0}^{N-1}\delta (s-s_m)\\ & =\sum _{m=0}^{N-1}\sum _{k=0}^{N-1}f(t_k)e^{-2\pi i{s}_m{t}_k}\delta (s-s_m)\end{array}$$

清楚起见，我们将上式左边部分记为 $F(s)$，则

$$F(s_m)=\sum _{k=0}^{N-1}f(t_k)e^{-2\pi i{s}_m{t}_k}\text{\hspace{1em}(2)}$$

---

到此为止，我们已经在某种程度上得到了DFT，但是 $t_k$ 和 $s_m$ 其实是连续图像中截取的点，因此为了彻底消除连续性，我们进行以下操作：

根据前文采样时下的定义，可知 $t_k=\frac{k}{2B}$，$s_m=\frac{m}{L}$，于是我们就可以将 $(2)$ 式改写为

$$\begin{array}{rl}F(s_m)& =\sum _{k=0}^{N-1}f(t_k)e^{-2\pi i{s}_m{t}_k}\\ & =\sum _{k=0}^{N-1}f(t_k)e^{-2\pi i\frac{mk}{2BL}}\\ & =\sum _{k=0}^{N-1}f(t_k)e^{-2\pi i\frac{mk}{N}}\end{array}$$

至此，所有连续性消除，而上式括号中的原变量 $t_k$，$s_m$ 其实也已经变成了变量 $k$，$m$

---

最后，我们写出DFT的完整表达：

为了区别于连续值，我们以下划线的形式记录离散值

假设$\underline{f}$为一组离散的信号：

$$\underline{f}=\left(\underline{f}[0],\underline{f}[1],\dots ,\underline{f}[N-1]\right)$$

则该信号经DFT后：

$$\underline{F}=\left(\underline{F}[0],\underline{F}[1],\dots ,\underline{F}[N-1]\right)$$

其中，DFT的表达式为：

$$\underline{F}[m]=\sum _{k=0}^{N-1}\underline{f}[k]e^{-2\pi i\frac{mk}{N}}$$

---

注意到在推导过程中，$\Delta t=\frac{L}{N}$，$\Delta s=\frac{2B}{N}$，故 $\Delta t\Delta s=\frac{2BL}{N^2}=\frac{1}{N}$，这说明了 $\Delta t$ 与 $\Delta s$ 存在着倒数关系，且在我们设置采样参数时，只要确定了 $\Delta t,\Delta s,N$ 中两个，另一个就被确定了。

同时我们发现时域、频域的间隔关系中有一个系数 $N$ ，这个系数在下一章会出现在离散傅里叶逆变换中