约瑟夫问题

问题描述

$n$ 个人，编号 $0$ ~ $(n-1)$，从1开始报数，报到 $m$ 的人退出，下一个人继续从0开始报数，求胜利者的编号。

胜利者编号问题

这个问题最好想的就是使用一个循环队列或者循环链表解决，但是我们其实完全没有必要浪费空间，而且移除元素也需要时间，有更简单的方法。
假设总共有8个人，原始编号为0 ~ 7，然后报30，我们来看一下过程：
第1次，0 1 2 3 4 5 6 7，30 % 8 = 6，第6个人出局，即编号为5的人出局，原始编号为5的人出局，然后我们对剩下7个人重新编号。
第2次，2 3 4 5 6 x 0 1，30 % 7 = 2，第2个人出局，即编号为1的人出局，原始编号为7的人出局，然后我们对剩下6个人重新编号。
第3次，0 1 2 3 4 x 5 x，30 % 6 = 0， 第6个人出局，即编号为5的人出局，原始编号为6的人出局，然后我们对剩下5个人重新编号。
第4次，0 1 2 3 4 x x x，30 % 5 = 0，第5个人出局，即编号为4的人出局，原始编号为4的人出局，然后我们对剩下4个人重新编号。
……
如果我们可以把第 $j(2\le j\le n)$ 次每个人的编号还原到第 $j-1$ 次每个人的编号，我们就可以一层一层倒推，我们来看一下，上下层的编号有什么关系。

第1次编号范围为 $0$ ~ $(n-1)$，第1个出列的人编号一定是 $(m-1)\%n$ （不写成 $m\%n-1$ 是为了防止 $m\%n=0$），设为 $k-1$，则编号变换到第2次的过程如下：

$0$	$1$	$2$	…	$k-2$	$k-1$	$k$	$k+1$	…	$n-2$	$n-1$
$-k$	$1-k$	$2-k$	…	$-2$		$0$	$1$	…	$n-2-k$	$n-1-k$
$n-k$	$n+1-k$	$n+2-k$	…	$n-2$		$0$	$1$	…	$n-2-k$	$n-1-k$

可以看到变换的时候都先减掉 $k$，再对前面部分加上 $n$，所以，为了使第2次的每个编号还原到第1次，每个编号加上 $k$，然后膜 $n$，就可以了，设第2次某个编号为 $x$，则 $(x+k)\%n=(x+m\%n)\%n=(x+m)\%n$，即 $(x+m)\%n$ 就是该编号对应的第1次的编号。

第2次编号范围为 $0$ ~ $(n-2)$，第1个出列的人编号一定是 $(m-1)\%(n-1)$，变换的时候都先减掉 $(m-1)\%(n-1)+1$，再对前面部分加上 $n-1$，所以，为了使第3次的每个编号还原到第2次，每个编号加上 $(m-1)\%(n-1)+1$，然后膜 $n-1$，就可以了，设第3次某个编号为 $x$，则 $(x+(m-1)\%(n-1)+1)\%(n-1)=(x+m)\%(n-1)$，即 $(x+m)\%(n-1)$ 就是该编号对应的第2次的编号。

现在就能看出规律了，设某次的某个编号为 $x$，上次剩余 $n$ 个人，则 $(x+m)\%n$ 就是上一次的编号，我们知道最后一次的编号肯定是0，因为只剩了一个人，将这个0不断地往上一次变换，直到变换到第1次，就可以得出结果。

设最开始有 $n$ 个人，$A[i]$ 表示最后那个胜利者在剩余 $i$ 个人时的编号，则存在以下递推式：

$A[1]=0$
$A[2]=(A[1]+m)\%2$
$...$
$A[i]=(A[i-1]+m)\%i(2\le i\le n)$

Java 代码如下：

public void Yue1(int n, int m) {
    int r = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        r = (r + m) % i;
    }
    System.out.println(r + 1);
}

处决顺序问题

上面已经导出了相邻两次报数的编号之间的关系，我们再来看每次退出的人的编号，假设某次剩余 $i$ 个人，则这次退出的人的编号为 $(m-1)\%i$，我们只需要把这个编号倒推到第一次即可，所以这种方式代码如下：

public void Yue4(int n, int m) {
    int result = m % n - 1;
    System.out.print(result + 1);
    for (int i = n; i >= 2; i--) {
        result = (m - 1) % (i - 1);
        for (int j = i; j <= n; j++) {
            result = (result + m) % j;
        }
        System.out.print("->" + (result + 1));
    }
}

当然你可以使用队列做，当然不是真的队列，一个标志位数组即可：

public void Yue2(int n, int m) {
    int idx = 0, cnt = 1, pout = 0;
    int[] vis = new int[n + 10];
    while (pout != n) {
        if (1 == vis[idx]) {
            idx = (idx + 1) % n;
            continue;
        }

        if (cnt % m == 0) {
            vis[idx] = 1;
            pout++;
            if (cnt == m){
                System.out.print(idx + 1);
            }else {
                System.out.print("->" + (idx + 1));
            }
        }

        idx = (idx + 1) % n;
        cnt++;
    }
}

参考博客：
详细阐述约瑟夫环问题（报数出队问题）
ACM模版——约瑟夫问题（出列顺序 + 最后一个）
约瑟夫环（数学高效率解法，很详细）
约瑟夫环问题的两种解法（详解）