引言
推荐系统中有两个经典问题：EE 问题和冷启动问题。
什么是 EE 问题？又叫 exploit－explore 问题。exploit 就是：对用户比较确定的兴趣，当然要利用开采迎合，好比说已经挣到的钱，当然要花；explore 就是：光对着用户已知的兴趣使用，用户很快会腻，所以要不断探索用户新的兴趣才行，这就好比虽然有一点钱可以花了，但是还得继续搬砖挣钱，不然花完了就得喝西北风。
用户冷启动问题，也就是面对新用户时，如何通过快速试探以及短暂的若干次实验，快速挖掘用户大致兴趣。
Bandit 算法是一种简单的在线学习算法，主要为了平衡试探和利用问题。
选择困难户，你需要了解它
我们会遇到很多选择的场景。上哪个大学，学什么专业，去哪家公司，中午吃什么，等等。这些事情，都让选择困难症的我们头很大。那么，有算法能够很好地对付这些问题吗？
当然有！那就是 bandit 算法！
bandit 算法来源于历史悠久的赌博学，它要解决的问题是这样的：
一个赌徒，要去摇老虎机，走进赌场一看，一排老虎机，外表一模一样，但是每个老虎机吐钱的概率可不一样，他不知道每个老虎机吐钱的概率分布是什么，那么每次该选择哪个老虎机可以做到最大化收益呢？这就是多臂赌博机问题 (Multi-armed bandit problem, K-armed bandit problem, MAB)。
怎么解决这个问题呢？最好的办法是去试一试，不是盲目地试，而是有策略地快速试一试，这些策略就是 bandit 算法。
这个多臂问题，推荐系统里面很多问题都与他类似：
- 假设一个用户对不同类别的内容感兴趣程度不同，那么我们的推荐系统初次见到这个用户时，怎么快速地知道他对每类内容的感兴趣程度？这就是推荐系统的冷启动。
- 假设我们有若干广告库存，怎么知道该给每个用户展示哪个广告，从而获得最大的点击收益？是每次都挑效果最好那个么？那么新广告如何才有出头之日？
- 我们的算法工程师又想出了新的模型，有没有比 A/B test 更快的方法知道它和旧模型相比谁更靠谱？
- 如果只是推荐已知的用户感兴趣的物品，如何才能科学地冒险给他推荐一些新鲜的物品？
这些问题本质上全都是关乎如何选择。只要是关于选择，都可以简化成一个多臂赌博机问题，毕竟小赌怡情嘛，人生何处不赌博。
积累遗憾
现在来介绍一下 bandit 算法怎么解决这类问题的。bandit 算法需要量化一个核心问题：错误的选择到底有多大的遗憾？能不能遗憾少一些？
它顾名思义，是指 T 次选择，将每次选择的实际收益 WB_i 与此次选择最好的策略带来的最大收益差，将 T 次差的总和就得到累积遗憾。
这个公式就是计算 Bandit 算法的累积遗憾，解释一下：
首先，这里我们讨论的每个臂的收益非 0 即 1，也就是伯努利收益。
然后每次选择后，计算和最佳的选择差了多少，然后把差距累加起来就是总的遗憾。
假设用最简单的伯努利实验来模拟这个过程：我们有 K 个选择，其中每次选择时最优收益是 1，其余收益为 0，我们进行 T 次选择，则最差的情况下我们的累积遗憾是 T，而最好的情况下是每次都选择是 1，遗憾为 0。
这个公式可以用来对比不同 bandit 算法的效果：对同样的多臂问题，用不同的 bandit 算法试验相同次数，看看谁的 regret 增长得慢。
常见的 Bandit 算法之一：UCB 算法
Upper Confidence Bound，即置信区间上界。同样为每个臂评分，每次选择评分最高的候选臂输出，每次输出后观察用户反馈，然后更新候选臂参数。
问题假设：按下摇臂后的回报取值为 1 或 0，每个摇臂获得回报的概率服从不同的分布，但实现并不知道。
问题目标：按照某种策略来按压摇臂以获得最大的累积回报。
在这个问题中，就是探索和利用问题。
利用：按压之前获得回报最高的那个臂，以获得更高的累积回报。但是因为回报是随机的，对每个臂的回报概率估计并不准确，或许真实回报概率最高的那个臂并非当前估计的那个臂。
探索：随机地区按压不同的臂，得到每个臂更精确的回报概率估计，从而找到真实的那个最优的臂，但是要探索，就要去按压目前回报概率估计并不高的臂，意味着会损失一些按压高回报摇臂的机会。
窘境：因为尝试次数有限，所以探索和利用是矛盾的，加强乙方必然削弱另一方，要想回报最大，则必须在探索和利用之中达到较好的平衡。
那如何来平衡探索和利用呢？
已有的方法包括 ϵ - greedy 策略和 softmax 策略，这里重点讲解 UCB 策略和公式的理解。
公式中如果只有第一项，那就是一个纯利用，也就是贪婪策略，它很容易陷入局部极值，而第二项的意义在于，如果我们对一个臂的了解过于少，那它的平均回报在此时的置信度是很低的，不确定度就很高，置信区间就很大（我想也可以理解为方差很大），我们就非常不相信它此时的平均回报就是它真实的平均回报，所以我们需要选择这个臂来获取更多的信息。
因此，第二项可以当做一个测量对臂了解多少的指标，了解越少，第二项越大。加入了第二项这个指标，我们可以说这个算法是有好奇心的，当对于一个臂的了解不够时，它会被选中，即使这个臂的平均回报很低。
UCB 的实现
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import random
import math
# Implementing UCB
"""
建立UCB，每回合只投1个广告給1个用戶
-N = 10000: 投10000次光改
-d = 8: 广告长度
-ads_selected = []: 记录器，记录每轮推哪个广告，其长度等于推送数，并且等于N
-numbers_of_selections = [0] * d: 每个广告总共被选择次数
-sums_of_rewards = [0] * d: 每个广告的总得分数
-total_reward = 0: 所有广告的得分数总合
"""
# 广告列表
userInterestStr = ["C1", "C2", "C3", "C4", "C5", "C6", "C7", "C8", "C9", "C10"]
# 广告初始回报
userInterest = [300, 100, 50, 50, 300, 100, 50, 50, 0, 0]
N = 10000
d = len(userInterest)
ads_selected = []
numbers_of_selections = [0] * d
sums_of_rewards = [0] * d
total_reward = 0
upper_bound = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
selectArr = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
for n in range(0, N):
ad = 0
max_upper_bound = 0
# Step 1. 对每个广告的平均期望置信区间更新
for i in range(0, d):
if (numbers_of_selections[i] > 0):
# Step 2. 广告i的平均期望值变量计算
average_reward = sums_of_rewards[i] / numbers_of_selections[i]
delta_i = math.sqrt(2 * math.log(n + 1) / numbers_of_selections[i])
# Step 3 广告i的平均期望值更新
upper_bound[i] = average_reward + delta_i
else:
# 一开始(第一轮)每个广告的置信区间很大
upper_bound[i] = 1e400
# 更新下一轮要推播的广告以及目前最高的天花板(UCB)
if upper_bound[i] > max_upper_bound:
max_upper_bound = upper_bound[i]
ad = i
# 更新记录器
ads_selected.append(ad)
selectArr[ad] += 1
# 广告i被点击数+1
numbers_of_selections[ad] = numbers_of_selections[ad] + 1
prob = userInterest[ad]
randValue = random.random() * 1000
if randValue < prob:
reward = 1
else:
reward = 0
# 广告i得分数更新
sums_of_rewards[ad] = sums_of_rewards[ad] + reward
# 所有广告总得分更新
total_reward = total_reward + reward
print(userInterest)
print(np.array(selectArr) * 100 / N)
# Visualising the results
"""
结果可视化
"""
plt.hist(ads_selected)
plt.title('Histogram of ads selections')
plt.xlabel('Ads')
plt.ylabel('Number of times each ad was selected')
plt.show()摇臂结果
[300, 100, 50, 50, 300, 100, 50, 50, 0, 0]可以看到我们初始的回报中，第二个和第一个与第5个相差并不大，但是最终摇臂的结果却是第5个被选择次数最多，利用较多，探索较少。
我们在期望，探索和收益的平衡能够与我们期望的分布相差不大。既然我们知道，初始的利用较多，那么我们就要对利用进行惩罚，加大探索。
def get_max_list(rewards):
max_ = max(rewards)
res = []
for idx, r in enumerate(rewards):
if r == max_:
res.append(i)
return res
# Step 1. 对每个广告的平均期望置信区间更新
for i in range(0, d):
if (numbers_of_selections[i] > 0):
# Step 2. 广告i的平均期望值变量计算
average_reward = sums_of_rewards[i] / numbers_of_selections[i]
delta_i = math.sqrt(2 * math.log(n + 1) / numbers_of_selections[i])
max_list = get_max_list(sums_of_rewards)
if i in max_list:
# Step 3 广告i的平均期望值更新
upper_bound[i] = 0.5 * average_reward + 2 * delta_i
else:
upper_bound[i] = 3 * average_reward + 0.2 * delta_i
else:
# 一开始(第一轮)每个广告的置信区间很大
upper_bound[i] = 1e400这里，对每次收益最大的那个臂，将其探索程度加大，收益权重进行降权，对收益较小的臂，加大利用，减少试探。再次运行，结果与收益分布相当，满足预期结果。
