最大流问题

http://www.cnblogs.com/luweiseu/archive/2012/07/14/2591573.html

1概述

设有向网络N（V，A），V顶点，A是边，其中，V_s是源， V_t 是汇。网络中有通过边a_ij从源到汇的流，但边流量不超过c_ij ，问该网络的最大流量为多少？ 这个问题，称为最大流问题。它是网络流中最经典的问题之一。最大流问题广泛地应用在交通运输、供水、油管供油、邮电通讯，也可以用在生产安排，管理优化等实际问题上。

2. 求最大流的方法

这里介绍最大流问题有两种解法。一是通过线性规划，二是弧标号法（图上作业法）。

先给出一个例题。

图1

 

2.1用线性规划求解最大流问题

我们把每条边的流量当作一个变量x_ij。我们记最大流量的流量为f。

对每一顶点，满足流量平衡等式。

 

另外，0<=x_ij<=c_ij。

2.2弧标号法（图上作业法）

用线性规划求解最大流问题显然很繁琐，这里介绍的弧标号法会简单一些。弧标号法本质上就是一种穷举法，不断地增加流量，直到不能增加为止。

第一步，初始化。在每一边的两端进行标号，标号记录允许通过的流量，即容量。

如图2所示。边a₁₂的两边分别为5，0，表示c₁₂=5，而c₂₁=0。

 

图2

第二步，寻找增益路。

从1出发，发现到2的容量为5，到3的容量为6，到4的容量为5，所以到3的容量最大；而在3这一点，3到6容量最大，为7；6到7容量最大，为7。这样就找到了一条增益路

1——3——6——7，在这条路上，最大的流量为6。

 

图3

 

第三步，调整标号。

在增益路上，边的左端减去流量，边的右端加上流量。如图4所示。 

图4

 

第四步，重复。

重复第二步，直到没有增益路。 

图5

第五步，最大流量。

通过连通1的边算出最大流量。如图5中第6小图，有最大流量为

（5-0）+（6-0）+（5-2）=14。

3matlab代码

有关网络流的matlab代码需要matlab_bgl工具箱，在网上可以下载。

 

cm = sparse([1 1 1 2 2 3 3 3 4 5 5 6 6],[2 3 4 3 5 2 5 6 6 6 7 5 7],...

     [5 6 5 2 3 2 3 7 5 1 8 1 7],7,7)%构建图

 [flowval cut R F] =max_flow(cm,1,7)

 view(biograph(F,[],'ShowWeights','on'))

 matlab算出的结果也为14.