【SCOI2012】滑雪与时间胶囊

【SCOI2012】滑雪与时间胶囊

【题目描述】

a180285非常喜欢滑雪。他来到一座雪山，这里分布着M条供滑行的轨道和N个轨道之间的交点（同时也是景点），而且每个景点都有一编号i（1<=i<=N）和一高度Hi。a180285能从景点i滑到景点j当且仅当存在一条i和j之间的边，且i的高度不小于j。 
与其他滑雪爱好者不同，a180285喜欢用最短的滑行路径去访问尽量多的景点。如果仅仅访问一条路径上的景点，他会觉得数量太少。于是a180285拿出了他随身携带的时间胶囊。这是一种很神奇的药物，吃下之后可以立即回到上个经过的景点（不用移动也不被认为是a180285滑行的距离）。请注意，这种神奇的药物是可以连续食用的，即能够回到较长时间
之前到过的景点（比如上上个经过的景点和上上上个经过的景点）。
现在，a180285站在1号景点望着山下的目标，心潮澎湃。他十分想知道在不考虑时间胶囊消耗的情况下，以最短滑行距离滑到尽量多的景点的方案（即满足经过景点数最大的前提下使得滑行总距离最小）。你能帮他求出最短距离和景点数吗？

【输入】

输入的第一行是两个整数N，M。 
接下来1行有N个整数Hi，分别表示每个景点的高度。 
接下来M行，表示各个景点之间轨道分布的情况。
每行3个整数，Ui，Vi，Ki。表示编号为Ui的景点和编号为Vi的景点之间有一条长度为Ki的轨道。

【输出】

输出一行，表示a180285最多能到达多少个景点，以及此时最短的滑行距离总和。

【输入样例】

3 3 
3 2 1 
1 2 1 
2 3 1 
1 3 10

【输出样例】

3 2

【数据范围】

对于30%的数据，保证1<=N<=2000 
对于100%的数据，保证1<=N<=100000 
对于所有的数据，保证 1<=M<=1000000，1<=Hi<=1000000000，1<=Ki<=1000000000。

【题解】

这道题有两个问，一是能够到达的节点数，二是最短的路径总和。

对于第一个问，很容易想到用BFS或DFS直接求解即可。

但是第二个问就不是那么简单了，根据题意，时间胶囊可以无限使用，那么最后的走过的节点构成的图不会是一条路径，而一定是一棵树。由于每个节点都有高度，因此整张图类似于一个有向带权图。但朱刘算法并不能求得正确的解，原因在于这个图中还存在双向路径：即两个节点高度相同。显然为了走过更多的节点，应该尽可能先选择较高的节点，其次再选择最短的路径，那么问题就转化为了最小生成树，只是在排序时目的地高度为第一关键字，路径长度为第二关键字。

为什么最小生成树能够求得最后的解？实际上按高度排序后，每一个高度上的节点都相当于一张无向图，利用最小生成树求得每一张无向图的最短路径，再把不同高度的图连在一起，这就是解题的关键。

【代码】

我用的BFS求第一问，Kruskal求第二问，每个点时间都在2s以内。

【SCOI2012】滑雪与时间胶囊#代码