RMQ问题的st解法模板

RMQ

简介：

对于没有修改操作的序列，以O(nlogn)进行预处理，并且用O(1)回答每个询问。询问为查询(l,r)之间的max/min值。 (range maximum/minimum query)

预处理：

a[i]存放序列
f[i][j]表示从a[i]开始的2^j个数中的max/min值。
可以用dp与二分思想对其进行预处理：
将其平均分成两部分，长度均为2^(j-1)， 则f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+2^(j-1)][j-1])
其终止于边界条件f[i][0]=a[i]。
代码为：

#define N int(1e5+5)
#define logn 20
void rmq(void)
{
for(int j=1;j<=logn;j++)       
    for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)     
	f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}

其复杂度为O(nlogn)。

询问时：

对于区间(l,r)，其区间长度为r-l+1，
需要先找到一个x使2^x<=r-l+1
2^x必然超过区间长度的一半，可以将区间(l,r)分成两部分，即 (l,l+2^x)与 (r-2^x+1,r)
则区间(l,r)的最大值就是这两个区间分别取最大值然后较大的那个。
这两个区间可能会有重叠，所以只能求其区间最值。
所以当给出l,r时，先求x=log2(r-l+1)，然后ans=max(f[l][x],f[r-2^x+1][x])

若是当询问次数非常多并且每次询问的区间长度不一样时，库函数log效率不高。
所以需要先将1~N中所有的log值求出。
用logg[N]存放，则logg[i]=logg[i/2]+1
代码为：

for(int i=1;i<=n;i++) 
    logg[i]=logg[i>>1]+1;
    
int findans(int l,int r)
{   
    int x=logg[r-l+1];   
    int ans=max(mx[l][x],mx[r-(1<<x)+1][x]);  
    return ans;
}

例题：

题目描述：

输入一串数字，给你 M 个询问，每次询问就给你两个数字X,Y，要求你说出X到Y这段区间内的最大数。

输入格式：

第一行两个整数N,M 表示数字的个数和要询问的次数；
接下来一行为N 个数；
接下来M 行，每行都有两个整数X,Y。

输出格式：

输出共M 行，每行输出一个数。

样例输入：

10 2
3 2 4 5 6 8 1 2 9 7
1 4
3 8

样例输出：

5
8

模板题
先预处理N个数
然后对每个询问用O(1)查表就行

代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
#define N int(1e5+5)
#define logn 20
#define LL long long
#define CL(a,b) memset(a,b,sizeof(a))

using namespace std;

int f[N][logn+1],logg[N],n;

void init(void)
{
    CL(f,0); 
    CL(logg,0);   
    logg[0]=-1;   
    for(int i=1;i<=n;i++)    
    {       
	scanf("%d",&f[i][0]);       
	logg[i]=logg[i>>1]+1;
    }
}

void rmq(void)
{ 
    for(int j=1;j<=logn;j++)       
	for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)           
	    f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
} 

int main()
{   
    int m;   
    scanf("%d%d",&n,&m);   
    init();
    rmq();   
    int x,y;   
    for(int i=0;i<m;i++)
    {       
	scanf("%d%d",&x,&y);       
	int k=logg[y-x+1];       
	printf("%d\n",max(f[x][k],f[y-(1<<k)+1][k]));
    }   
    return 0;
}