图论期末考试复习

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title: 图论期末考试复习
date: 2020-08-17 09:01:09
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第四章 欧拉图与Hamilton图

欧拉图及其性质

• 基本概念
  • 定义一（欧拉图与欧拉回路） 对于连通图G，如果G中存在经过每条边的闭迹，则称G为欧拉图，简称G为E图。欧拉闭迹又称为欧拉环游，或欧拉回路。
• 欧拉图的性质
  • 定理一 下列陈述对于非平凡连通图G是等价的
    1. G是欧拉图
    2. G的顶点度数为偶数
    3. G的边集合能划分为圈
  • 定理一 证明:
    • 1 >> 2: 一进一出
    • 2 >> 2: 减圈法
    • 3 >> 1: 拼圈法
  • 推论1 连通图G是欧拉图当且仅当G的顶点度数为偶。
  • 推论2 连通非欧拉图G存在欧拉迹当且仅当G中只有两个顶点度数为奇数。
  • 题目：
    • 例题1 证明： 欧拉图$G$与欧拉图$H$的乘积$G\times H$仍然是欧拉图.
      • 先证明d((u,v)) = d(u) + d(v) [邻点$(u,w)$，$w$有$d(u)$种，邻点$u(x,v)$,$x$有$d(v)$种]
      • 证明$G\times H$是连通的 (u1,v1)与(u2,v2) 连通
        $（u1,v1）>>(u1,v2)>>(u2,v2)$
    • 一笔画问题： 欧拉迹存在问题
    • 几笔画问题： 添加几笔成为欧拉图
  • 其他性质：
    • 欧拉图不存在割边
    • 完全图$K_n$，n为奇时为欧拉图，n立方体$Q_n$,n为偶数为欧拉图,完全二部图$K_{a,b}$, $a,b$ 均为偶数时为欧拉图
    • 例题2若G是非平凡的欧拉图，则G的每个块也是欧拉图。
      • 证明： 对于任一块，欧拉回路跨越两个块，必然经过割点，按割点分割的欧拉回路，是每个块的欧拉回路。

例题3 **（未弄懂）

• 设G是非平凡的欧拉图，且v∈V(G)。证明：G的每条以v为起点的迹都能扩展成G的欧拉回路** 当且仅当 G‒v是森林。
  • 必要性： 非B >> 非A:
    
  • 充分性：
    
• Fleury(夫勒里)算法 (求一条具体欧拉环游的方法)
  • 基本思想：尽可能避割边行走
  • 算法：
    • 任意选择一个顶点$v_0$,置$w_0=v_0$
    • 假设迹 $w_i=v_0{e}_1{v}_1...e_i{v}_i$ 已经选定，按一下要求从剩余边集合种选取下一条边 $e_i+1$:
      • $e_i+1$ 与 $v_i$ 相关联
      • 除非没有的边可选择，否则 $e_i+1$ 不能是 $G_i=G-e_1,...,e_i$ 的割边
    • 迭代第二步，直至无边可选
• 例题4 证明 若 $G$ 有 $2k>0$个奇数顶点，则存在k条边不重的迹$Q1,Q2,\dots ,Qk$，使得： $E(G)=E(Q_1)\cup E(Q_2)\cup ...\cup E(Q_k)$
  • 证明： ($v_i,v_i+k$间)加边 >> 欧拉图 >> 圈的集合 >> 去边 >> 迹的集合

中国邮路问题

• 问题：每条街道至少走一次,如何用最少路程，回到邮局。

• 即求最优环游：

  • 欧拉图， 最优环游为欧拉回路
  • 对一般图，解法： 添加重复边 以使得 G 成为欧拉图 G*，并使得添加的重复边的边权之和为最小，再求G* 的欧拉回路：
    • 用每条边最多添一次的方法任意添一些重复边使图G成为一个欧拉多重图G′。
    • 考查G′的圈，若存在圈C，其中重复边的总权值大于该圈权值的一半，则在圈C上交换重复边和不重复边得到一个新的欧拉多重图。重复这个过程，直到得到一个图G*，使得图G*中每个圈上重复边的总权值不大于该圈权值的一半。
    • 用Fleury算法求G*的Euler回路。

• 定理2（管梅谷） 若W是包含图G的每条边至少一次的闭途径，则W具有最小权值当且仅当下列两个条件被满足：

  • (1) G的每条边在W中最多重复一次;
  • (2) 对于G的每个圈上的边来说，在W中重复的边的总权值不超过该圈非重复边总权值。

• 定理2 证明

  • 必要性：(奇度点对之间的路上的边改为2重边) >> 欧拉图G1 >> 删去重数>2的边 >> 欧拉图G2 >> 假定不满足（1）（2） 可得更优 w。（没看太懂）
  • 充分性：略

• 非欧拉图，求最优环游：

  • 奇度点配对
  • 奇度间找条路 路上添加重复边
  • 按照定理2修改 修改到最优：
    • 考查G′的圈，若存在圈C，其中重复边的总权值大于该圈权值的一半，则在圈C上交换重复边和不重复边得到一个新的欧拉多重图。重复这个过程，直到得到一个图G*，使得图G*中每个圈上重复边的总权值不大于该圈权值的一半。
  • 求 $G^{\ast }$ 的欧拉环游

• 例题5 求最优欧拉环游

  • 

• 例6 如果一个非负权的边赋权图G中只有两个奇度顶点u与v,设计一个求其最优欧拉环游的算法。

  • 算法设计：
    • (1)、 在u与v间求出一条最短路P; (最短路算法)
    • (2)、 在最短路P上，给每条边添加一条平行边得G的欧拉母图G*;
    • (3)、 在G的欧拉母图G* 中用Fleury算法求出一条欧拉环游。
  • 证明：重复边的权值和 ≥ 任意路 ≥ 最短路

• P97—99 习题4 ： 1, 2, 3, 7, 8, 9

  • 4.1 一笔画问题： 是否存在欧拉迹，即 最多只能有两个奇度顶点
  • 4.2 几笔画问题：奇点数除以二便可算出此图需几笔画成
  • 4.3 画图举例 —— Hamilton圈与Euler闭迹：
  • 4.7 证明：若G没有奇点，则存在边不重的圈C1, C2,…, Cm，使得，E(G) = E(C1)∪E(C2)∪…∪E(Cm)。
    • 去圈法
  • 4.8 证明：若G有2k＞0个奇点，则存在k条边不重的迹Q1, Q2,…, Qk，使得，E(G) = E(Q1)∪E(Q2)∪…∪E(Qk)。：
    • 加边 >> 欧拉图 >> 圈集合 >> 去边 >> 迹集合
  • 4.9 同例题3

Hamilton图

• 哈密尔顿图的概念
  • 定义
    • 经过图中每个点的路称为Hamilton路，简称H路。
    • 经过图中每个点的圈称为Hamilton圈，简称H圈。
    • 存在Hamilton圈的图称为Hamilton图，简称H图。
  • 思考
    • Hamilton图举例
      • 正十二面体图
      • $n>=3$的完全图 $K_n$
      • $n>=2$,n立方体$Q_n$
      • 完全二部图$K_{a,b}$当$a=b>=2$时
    • 是否存在一个具有奇数个顶点的连通图既是二部图，又是Hamilton图
      • 不存在，否则二部图种出现了奇圈
    • 二部图G是Hamilton图（二部划分为X,Y） 须满足 |X|=|Y|(必要条件)
    • 例题1 若G1和G2是H图，则G1×G2是H图。
      • 
      • 
• 性质与判定
  • 定理1（必要条件） 若G是H图，则对于V的每个非空真子集S，均有$\omega (G-S)\le |S|$ 。
    • 证明：$\omega (G-S)\le \omega (C-S)\le |S|$ 其中$C$为$G$的$G$圈
  • 例题
    • 例题2 **（未看）**彼得森图不是H图，但满足定理中的条件
    • 例题3 证明：若连通图不是2-连通的，则G不是Hamilton图
      • 存在割点，$\omega (G-v)\ge 2>1=|v|$ 不满足必要条件
      • 推论 Hamilton图一定不存在割点
  • 定理2若图G包含哈密尔顿路，则对V(G)的每个真子集S，$\omega (G-S)\le |S|+1。$
    • 证明：$\omega (G-S)\le \omega (P-S)\le |S|+1。$
  • 例题4 若图G是哈密尔顿图且不是圈，则G至少包含2个度数不小于3的顶点。
    • 证明：反证 ： 若只有一个度不小于3的顶点，则该点为割点
  • 几个判定定理
    • 定理3（充分条件） (Dirac 1952) 对于n≥3的简单图G，如果G中有：$\delta (G)\le n/2$ 则G是H图
      • 证明：（反证法）
        • 极大非H简单图$G^{\prime }$：任意添加边uv都成为H图
        • $G^{\prime }$ 的H路$P=v_1{v}_2...v_n$
        • $S=\{v_i|v1v_{i+1}\in E(G)\}$ $T=\{v_i|v_n{v}_i\in E(G)\}$
        • $S\cap T=\varnothing$ 否则存在Hamilton圈
        • $d(v_1)+d(v_n) = |S| +|T| < n $则与$\delta (G) \le n/2$ 矛盾
    • 定理4 (Ore 1962) 对于n≥3的简单图G，如果G中的任意两个不相邻顶点u与v，有：$d(u)+d(v)\ge n$ 则G是H图
      • 注：证明与定理3一致，该定理的条件是紧的。
    • 闭图与闭包
      • 闭图定义 在n阶简单图G中，若对d(u)+d(v)≥n的任何一对点u和v都是相邻的，则称G是闭图。
      • **定理 ** 若G1和G2是同一个点集V的两个闭图，则$G=G1\cap G2$是闭图。
        • 证明： $d_G(u)+d_G(v)>=n$ 则 $d_{G_1}(u)+d_{G_1}(v)>=n$ +$d_{G_2}(u)+d_{G_2}(v)>=n$ ，容易知道u,v在G1,G2邻接所以在G中也邻接
      • 闭包定义 若一个与G 有相同点集的闭图 Ĝ，使$G\subset \hat{G}$，且对异于Ĝ的任何图H，若有$G\subset H\subset \hat{G}$，则H不是闭图，则称Ĝ是G的闭包。（G的闭包是包含G的极小闭图）
        • 图G的闭包唯一
        • 对于单图G，如果G中有两个不相邻顶点u与v，满足：$d(u)+d(v)\ge n$，那么G是H图当且仅当G + u v是H图 。
      • 闭包的构造： 如果G本身是闭图，则其闭包是它本身；如果G不是闭图，则由定义可以通过在度和大于等于n的不相邻顶点对间加边来构造G的闭图。
    • 邦迪——闭包定理 图G是H图当且仅当它的闭包是H图。
      • 推论1： 设G是n≧3的单图，若G的闭包是完全图，则G是H图。
      • 推论2： 设G是n≧3的单图。若δ(G)≧n/2,则G是H图 (Dirac定理)。
      • 推论3： 若对于G中任意不相邻顶点u与v，都有d(u)+d(v)≧n,则G是H图.(Ore定理)
    • 定理5(Chvátal——度序列判定法) 设简单图G的度序列是(d1,d2,…,dn), 这里，d1≦d2≦…≦dn,并且n≧3.若对任意的mm,或有dn-m ≧ n-m,则G是H图。【可以证明，满足条件的图的闭包是完全图】

非哈密尔顿图与TSP问题

非Hamilton图特征

• 定义1 图G称为度极大非H图，如果它的度不弱于其它非H图。
• 定义2 对于$1\leqq m<n/2$, $C_{m,n}$图定义为：$C_{m,n}=K_m\vee ({\overline{K}}_m+K_{n-2m})$
  • 
  • 
• 引理1 对于1≦m $C_{m,n}$是非H图。
  • 证明： 取$S=K_m$ ,$w(G-S)=m+1>m=|S|$(不符合H图的必要条件)
• 定理1 (Chvátal,1972) 若G是n≧3的非H单图，则G度弱于某个$C_{m,n}$图。
  • 证明：
• 推论 n(≥3)阶单图若度优于C m, n 图族中所有图，则G是H图。
• 推论 设G是n阶单图。若n≧3且
• 例1(证明题) 设G是度序列为(d1,d2,…,dn)的非平凡单图，且d1≦d2≦…≦dn。证明：若G不存在小于(n+1)/2的正整数m，使得：dm
• 证明：($G1=G\cup v$) >> 度序列判定G1为H图 >> $ G = G1 - v$ 存在H路

例2(应用题) 一只老鼠吃333立方体乳酪。其方法是借助于打洞通过所有的27个111 的子立方体。如果它从一角上开始，然后依次走向未吃的立方体，问吃完时是否可以到达中心点？

解：H路存在性问题：

• 图建模 >> 偶图 划分为13:14
• |X| ！= |Y| (加边（起点-中心点）后)不能存在圈（$w(G1-Y)=14>|Y|=13$） >> 原图不能存在H路

TSP问题（旅行售货员问题）

边交换技术[有权完全图]

• 在赋权完全图中取一个初始H圈$C=v1v2,\dots ,vnv1$；
• 如果存在下图中红色边，且$w(vivi+1)+w(vjvj+1)\geqq w(vivj)+w(vi+1vj+1)$,则把C修改为：$ C1=v1v2,…,vivj…vi+1vj+1…,vnv1$；
• 反复修改，直到不能修改为止。最后圈为近似最优哈密尔顿圈。
  
• 例3 采用边交换技术求赋权完全图的一个近似最优H圈。

赋权完全图中最优H圈下界估计

• (1) 在G中删掉一点v(任意的)得图G1;
• (2) 在图G1中求出一棵最小生成树T;
• (3) 在v的关联边中选出两条权值最小者e1与e2.
• 若H是G的最优圈，则：$W(H)\ge W(T)+W(e_1)+W(e_2)$

超Hamilton图与超可迹图

超H图与超可迹图

• 定义1 若图G是非H图，但对于G中任意点v,都有G-v是H图，则称G是超H图。
  • 举例： 彼德森图
    • 证明： 1. 证G为非H图 2. 证G-v为H图
• 定义2 若G中没有H路，但是对G中任意点v，G-v存在H路，则称G是超可迹的。
  • 定理2 Thomassen图是超可迹图。
    • 证明： 1. 证明G中不存在H路。
• 一些研究
  • 普鲁默猜想：每个2连通图的平方是H图。
    • 图的平方 原图$G$中距离小于等于2的点 在$G^2$中邻接
  • 定理：每个3正则H图至少有3个生成圈。

E图与H图的关系

线图

• 定义3 设G是图，G的线图L(G)定义为：$V(L(G))=E(G),(e_1,e_2\in E(L(G)))\leftrightarrow 在G中有：e_1,e_2邻接$
• 特别地，定义G的n次迭线图Ln(G) 为：$L^n(G)=L(L^{n-1}(G))$
  
• 线图的性质
  • (1) 线图L(G)顶点数等于G的边数；若e=u v是G的边，则e作为L(G)的顶点度数为：$d(e)=d(u)+d(v)-2$.
  • (2) 若G=(n, m), 则线图L(G) 边数为：$m(E(L(G)) = - m + \frac{1}{2}\sum\limits_{v \in V(G)}^{} {{d^2}(v)} $
  • (3) 一个图同构于它的线图，当且仅当它是圈。
  • (4) 若图G和G1有同构的线图，则除了一个是K3而另一个是K1,3外，G和G1同构。(证明比较复杂)
• 从线图考察E图与H图
  • 定义4 称Sn是图G的n次细分图，是指将G的每条边中都插入n个2度顶点。
    • $L_n(G)=L(S_{n-1}(G))$
  • 定理3 (1)若G是E图，则L(G) 既是E图又是H图。 (2)若G是H图，则L(G)是H图。
  • 定理4 一个图G 是E图的充要条件是L3(G)为H图
  • 定理5（Chartarand）若G 是n个点的非平凡连通图，且不是一条路，则对所有m≥n-3，Lm(G) 是H图。

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第五章

偶图的匹配问题

图的匹配与贝尔热定理

偶图

• 定义：所谓具有二分类（X, Y）的偶图（或二部图）是指一个图，它的点集可以分解为两个(非空)子集X和Y，使得每条边的一个端点在X中，另一个端点在Y中.
• 性质
  • 偶图不能有环，偶图可以有重边；
  • 【判定定理】 图G是偶图当且仅当G不含奇圈。
• k-正则偶图
  • k-正则偶图的两个顶点子集包含顶点个数相等。
• 对称差运算 （减去公有的边？？）

图的匹配

• 匹配 M— 如果M是图G的边子集(不含环），且M中的任意两条边没有共同顶点，则称M是G的一个匹配或对集或边独立集。
• 饱和点 如果G中顶点v是G的匹配 M中某条边的端点，称它为M饱和点，否则为M非饱和点。
• 最大匹配M — 如果M是图G的包含边数最多的匹配，称M是G的一个最大匹配。特别是，若最大匹配饱和了G的所有顶点，称它为G的一个完美匹配。
• 区分
  • 一个图G不一定存在完美匹配；
  • 一个图G的完美匹配若存在，不一定唯一；
  • 一个图G的最大匹配不一定唯一。
• M交错路与M可扩路— 如果M是图G的匹配，G中一条由M中的边和非M中的边交错形成的路，称为G中的一条M交错路。特别地，若M交错路的起点与终点是M非饱和点，称这种M交错路为M可扩路。

贝尔热定理

• 定理1 (贝尔热，1957) G的匹配M是最大匹配，当且仅当G不包含M可扩路。
  • 证明：
    • 必要性：非B >> 非A ， 若存在M可扩路，可得更多边的匹配

- 充分性： （没看懂）:

偶图的匹配与覆盖

• 问题引出： 两个集合，如何匹配？

偶图匹配存在性判定——Hall定理

• 定理2 (Hall定理）设G=(X, Y)是偶图，则G存在饱和X每个顶点的匹配(存在由X到Y的匹配(X选Y))的充要条件是：$$\forall S\subseteq X,\left|N(S)\right|\ge \left|S\right|\cdots (\ast )$$
  • N(S)为S的邻接顶点的集合
  • 证明：
    • 必要性：X的每个顶点，在Y中至少有一个邻接点(A>>B)
    • 充分性：（反证）假设B下有非A,然后退出非B 矛盾: 存在不饱和X的顶点u，设Z为关联u的M交错路，$S=X\cap Z,T=Z\cap Y$, S-｛u｝中点与T中点在M*下配对,$|N(S)| = |T| = |S| -1< |S| $
  • Hall定理也可表述为：设G=(X,Y)是偶图，如果存在X的一个子集S,使得|N(S)| < |S| ，那么G中不存在由X到Y的匹配。
  • 又称“婚姻定理” ：在一个由r个女人和s个男人构成的人群中，1≦r≦s。在熟识的男女之间可能出现r对婚姻的充分必要条件是，对每个整数k(1≦k≦r),任意k个女人共认识至少k个男人。(女挑选男)
• 推论 若G是k (k>0)正则偶图，则G存在完美匹配。
  • 证明：$k|X|=k|Y|\to |X|=|Y|；$ 对于X的任一非空子集S, 设E1与E2分别是与S和N(S)关联的边集，显然有$$E_1\subseteq E_2$$则 $$\left|E_1\right|=k\left|S\right|\le \left|E_2\right|=k\left|N(S)\right|$$
• 例题2
  • (1) 证明：每个k方体都有完美匹配(k大于等于2)
    • 证法一：按坐标之和 的 奇 和 偶 两部分 [k方体有$2^k$个顶点,每个顶点可以用长度为k的二进制码来表示，两个顶点连线当且仅当代表两个顶点的二进制码只有一位坐标不同。] >> k正则偶图 >> 存在完美匹配
    • 证法二：构造法（举例法）：
    • 一些结论： k方体是k正则偶图。
  • (2) 求$K_{2n}$和$K_{n,n}$中不同的完美匹配的个数。
    • $K_{2n}=(2n-1)K_{2n-2}$ >> $(2n-1)!!$
    • $K_{n,n}=K_{n-1,n-1}$ >> $n!$
• 例3 证明树至多存在一个完美匹配。
  • (反证+对称差)假设存在连个匹配$M1,M2$, $M1\Delta M2\ne \Phi$，$T[M1\Delta M2]$每个非空部分顶点度数为2（$|M1|=|M2|$），即它存在圈，矛盾。

点覆盖与哥尼定理

• 点覆盖的概念与性质
  • 定义1 图的点覆盖 G的一个顶点子集K称为G的一个点覆盖，如果G的每条边都至少有一个端点在K中。G的一个包含点数最少的点覆盖称为G的最小点覆盖，其包含的点数称为G的覆盖数，记为α(G).
  • 定理2（点覆盖与边匹配互为上下界） 设M是G的匹配，K是G的覆盖，若|M|=|K|,则M是最大匹配，而G是最小覆盖。
    • 证明：由匹配和覆盖定义有：|M*|≦|K*|。（M每条边取点,得到的点集 不一定能点覆盖（少于最小点覆盖））
  • 哥尼定理(哥尼，1931) 在偶图中，最大匹配的边数等于最小覆盖的顶点数。
    • 证明：反证法
      最小点覆盖$K\ast =(X-S)\cup T$ 最大边覆盖$M\ast 为红边集合$ 可证[$K\ast =M\ast$]（M上的每条边选一个不饱和顶点）
      
• 例4 矩阵的一行或一列称为矩阵的一条线。证明：布尔矩阵中，包含了所有“1”的线的最少数目，等于具有性质“任意两个1都不在同一条线上的1的最大数目”。
• 分析： 布尔矩阵 >> 行，列分为两部分(X表示行点集合，Y表示列点集合) (0/1表示是否有边)>> 偶图 >> 哥尼定理 >> 证之

图的因子分解

托特定理

• 托特定理 (托特定理，1947) 图G有完美匹配当且仅当对V的任意非空真子集S, 有：$$o(G-S)\le \left|S\right|$$
  • 注： $o(G-S)\le \left|S\right|$ 表示奇分支数目.(奇分支：顶点数为奇数)
  • 例1 证明：一棵树G有完美匹配当且仅当对所有顶点v ∈V(G),有：o (G - v)=1。
    • 证明：
      • 必要性：（A >> B） 完美匹配 >> 托特定理 >> o(G - v)≤1;完美匹配 >> G 为偶阶树 >> o(G-v)≥1
      • 充分性： （B>>A） 对所有顶点v ∈V(G),有：o (G - v)=1 >> 与奇分支关联的边选为匹配边(M=｛e(v):它是由v连到G-v的奇分支的边，v ∈V(G) ｝)
• 推论 (彼得森定理) 没有割边的3正则图存在完美匹配。
  • 证明：
    • 假设设S为任意分支，mi为S与第i个奇分支连接的边数目（0
    • (mi = Gi在G中总度数 - Gi总度数) $m_i=3\left|V(G_i)\right|-2\left|E(G_i)\right|$ >> $m_i$为奇数
    • 无割边 >> $m_i\ge 3$ 则 $k \le {1 \over 3}\sum\limits_{i = 1}^k {{m_i}} $
    • 对于S有， ${1 \over 3}\sum\limits_{i = 1}^k {{m_i}} \le {1 \over 3}\sum\limits_{v \in S}^{} {d(v)} $
    • 于是$$o(G-S)=k\le \frac{1}{3}\sum _{i=1}^k{m}_i\le \frac{1}{3}\sum _{v\in S}d(v)\le \frac{1}{3}\cdot 3\left|S\right|=\left|S\right|$$
    • 利用托兰定理得证

图的一因子分解

• 基本概念
  • 所谓一个图G的因子Gi，是指至少包含G的一条边的生成子图。
  • 所谓一个图G的因子分解，是指把图G分解为若干个边不重的因子之并。
  • 所谓一个图G的n因子，是指图G的n度正则因子。
  • 如果一个图G能够分解为若干n因子之并，称G是可n因子分解的。
• 问题：
  • 能否分解 如何分解
• 图的一因子分解
  • 一因子实际上就是图的一个完美匹配的导出子图。一个图能够作一因子分解，也就是它能够分解为若干边不重的完美匹配的导出子图之并。
  • 定理1 $K_{2n}$可一因子分解。
    • 证明：(给出分解方法) 轮换法 2n-1个边不重的一因子（每个拥有n条边）
• 例2 证明：每个k (k>0)正则偶图G是一可因子分解的。
  • 证明： G存在完美匹配 >> G存在至少一个一因子 >> 设Q为G的一个一因子，G-Q仍位正则偶图 >> 递推
• 定理2 具有H圈的三正则图可一因子分解。
  • 证明: 抽取H圈，剩下的边构成一个一因子 >> 三正则图（奇度点数目为偶数（握手定理）），H圈为偶圈，可分解为两个一因子。
• 定理3 若三正则图有割边，则它不能一因子分解。
  • 反证 假设能分解，有三个一因子，任意减去一个一因子，剩下的必然为圈之并（均为偶点，存在欧拉回路），即不能有割边

图的二因子分解

• 如果一个图可以分解为若干2度正则因子之并，称G可以2因子分解。
  • 注意：G的一个H圈肯定是G的一个2因子，但是G的一个2因子不一定是G的H圈。2因子可以不连通。
• 定理4 $K_{2n+1}$可2因子分解
  • 证明：(给出分解方法)
  • 顶点集 $$V(K_{2n+1})=\left\{v_1,v_2,\cdots ,v_{2n+1}\right\}$$
  • 作路(0$P_1=v_1{v}_6{v}_2{v}_5{v}_3{v}_4$) $$P_i=v_i{v}_{i-1}{v}_{i+1}{v}_{i-2}{v}_{i+2}{v}_{i-3}\cdots v_{i-n}{v}_{i+n}$$
  • 生成圈Hi为v2n+1与Pi的两个端点连线。
• 定理5 $K_{2n}$可分解为一个1因子和n-1个2因子之和。
  • 证明：给出分解方法：作n-1条路 $$P_i=v_i{v}_{i-1}{v}_{i+1}{v}_{i-2}{v}_{i+2}{v}_{i-3}\cdots v_{i-n-1}{v}_{i+n-1}$$
    • 下表按模2n-1计算，然后把v2n和Pi的两个端点连接，可以得到n-1个2因子，剩余为一因子。
• 定理6 每个没有割边的3正则图是一个1因子和1个2因子之和。
  • 证明：没有割边的三正则图 存在完美匹配M, 显然G-M为2-因子
• 定理7 一个连通图可2因子分解当且仅当它是偶数度正则图。

图的森林因子分解

• 把一个图分解为若干边不重的森林因子的和，称为图的森林因子分解。
• 荫度 图G分解为边不重的森林因子的最少数目问题，称这个最少数目为G的荫度，记为σ(G)。
• 定理8 图G的荫度为：$\sigma (G) = \mathop {\max }\limits_s \left\lceil {{{{m_s}} \over {s - 1}}} \right\rceil $ 其中s是G的子图Hs的顶点数，而：$m_s=\underset{s}{\max }\left\{E(H_s)\right\}$
• 定理9 完全图的荫度$$\sigma (K_n)=\lceil \frac{n}{2}\rceil$$ 完全偶图的荫度 $$\sigma (K_{r,s})=\lceil \frac{rs}{r+s-1}\rceil$$
• 完全图的森林因子分解
  • 对于K2n，将其分解为n条路Pi = vivi-1vi+1vi-2vi+2…vi-nvi+n,脚标按模2n计算。
  • 对于K2n+1，先作n条路Pi = vivi-1vi+1vi-2vi+2…vi-nvi+n,脚标按模2n计算。在每条路外添上点v2n+1的n个森林因子；然后，v2n+1与v1,v2,…,v2n分别相连接得一星图，这是G的最后一个森林因子。（n条路 + 星图）
• 例8 证明：若n为偶数，且δ(G)≥n/2+1 ,则n阶单图G有3因子。
  • 证明： 存在H圈 >> n为偶数，H圈可分解出一个一因子Q >> G-Q 满足δ(G)≥n/2 >> G-Q仍
    存在H圈C >> $C\cup Q$为一个三因子

作业题

P117—118 习题4 ： 3, 4, 5，6，7，8，9
P97—99 习题4 ： 1, 3， 4, 7，8， 11， 15.
P117—118 习题5 ： 1, 2, 3, 4，10， 11， 12, 19.

匈牙利算法与最优匹配算法

匈牙利算法

• 基本问题：偶图中寻找完美匹配 （|X|=|Y|）

• 基本思想：从任一初始匹配$M_0$出发，通过寻求一条$M_0$可扩路P，令$M_1=M_0\Delta E(P)$, 得到比$M_0$更大的匹配$M_1$(近似于迭代思想)。

• M可扩路寻找方法—交错树方法

  • Edmonds首先提出: 用扎根于M非饱和点u的M交错树的生长来求M可扩路。
  • 定义1 设G=(X, Y), M是G的匹配，u是M非饱和点。称树H是G的扎根于点u的M交错树,如果：
    • 1. u ∈V(H)； 2) 对任意v ∈V(H), (u, v)路是M交错路。
  • H是G的扎根于点u的M交错树的情形分类讨论

• 匈牙利算法【寻找完美匹配】

  • 初始设置：设M是初始匹配。H是扎根于M非饱和点u的交错树。令：S=V(H)∩X, T=V(H)∩Y。
  • (a) 、若M饱和X所有顶点，停止。否则，设u为X中M非饱和顶点，置S=｛u｝,T=Φ;
  • (b) 、若N(S)=T, 则G中不存在完美匹配。否则设 y ∈N(S) – T.
  • © 若y为M饱和点，且y z ∈M, 置S=S∪｛z｝, T=T∪｛y｝,转(b)。否则，设P为M可扩路(u, y)，置M1=MΔE§，转(a).

• 匈牙利算法复杂度 $O(|X{|}^3)$

  • 1. 、最多循环|X|次可以找到完美匹配；
  • 2. 、初始匹配最多扩张|X|次可以找到完美匹配；
  • 3. 、每次生长树的生长至多2|X|-1次。

• 寻找偶图最大匹配

  • 设M是G=(X, Y)的初始匹配。
  • (1) 置S=Φ, T=Φ;
  • (2) 若X-S已经M饱和，停止；否则，设u是X-S中的一非饱和顶点，置S=S∪｛u｝。
  • (3) 若N(S)=T,转(5)；否则，设y ∈N(S)-T。
  • (4) 若y是M饱和的，设yz ∈ M,置S=S∪｛z｝, T=T∪｛y｝,转(3);否则，存在(u, y)交错路是M可扩路P,置M=MΔE§,转(1).
  • (5) 若X-S=Φ,停止；否则转(2).

最优匹配算法

• 问题定义： G=(X, Y)是边赋权完全偶图,求G一个具有最大权值的完美匹配

可行顶点标号与相等子图

• 可行顶点标号： 设G=(X, Y), 若对任意的x ∈X, y ∈Y,有：$$l(x)+l(y)\ge w(xy)$$
  则称 l 是赋权完全偶图G的可行顶点标号。
  • 初始标号：对于任意的赋权完全偶图G，均存在G的可行顶点标号。事实上，设：
    
    则 l 是G的一个可行顶点标号。
• 定义3 相等子图： 设 l 是赋权完全偶图G=(X, Y)的可行顶点标号，令：$$E_l=\left\{xy\in E(G)|l(x)+l(y)=w(xy)\right\}$$称$G_l=G[E_l]$为G的对应于l 的相等子图。
• 举例

最优匹配

• 定理 设 l 是**赋权完全偶图G=(X, Y)*的可行顶点标号，若相等子图Gl有完美匹配M,则M*是G的最优匹配。
  • 证明： 设M*是Gl的完美匹配，则：
    $$w(M\ast )=\sum _{e\in M\ast }w(e)=\sum _{v\in V(G)}l(v)$$
  • 又设M是G的任一完美匹配，则：
    $$w(M)=\sum _{e\in M}w(e)\le \sum _{v\in V(G)}l(v)$$
  • 所以，w (M*)≥w (M)。即M*是G的最优匹配。

Kuhn最优匹配算法（第二步 重新开始是指？？）

• 给一初始顶点标号l ,在Gl中任选一个匹配M。
• (1) 若X是M饱和的，则M是最优匹配。否则，令u是一个M非饱和点，置：S=｛u｝,T=Φ。
• (2) 若 $N_{G_l}(S)\supset T$，转(3)。否则，计算
  给出新的可行顶点标号，在新标号下重新开始。（算新的相等子图）
• (3) 在$N_{Gl}(S)-T$中选择点y。若y是M饱和的，yz ∈M,则置S=S∪｛z｝,T=T∪｛y｝转(2)。否则，设P是Gl中M可扩路，置M=MΔE§,转(1).

匹配在矩阵中的应用

• 矩阵与偶图
• detA和GA=(X, Y)之间关系 （不做要求）
• 例2 证明：$K_{6n-2}$有一个3因子分解。
  • 证明：可以分解为6n-3个边不重的一因子之和，一因子三三组对，得到2n-1个3因子

习题(第二次作业)

P97---99    习题4 ： 1,  3， 4,  7，8， 11， 15.
P117---118    习题5 ： 1,  2, 3,  4，10， 11， 12, 19.
P117---118    习题4 ： 13

习题5：

1. k立方体都有完美匹配 >> k正则偶图