离散数学考前复习：（五）图

离散数学考前复习：（五）图

5.1 无向图和有向图

• 无向图：边没有方向的图称为无向图。
  无向图G=,其中:
  1.V是非空集合，称为顶点集。
  2.E是V中元素构成的无序二元组的集合，称为边集。
• 有向图：若图中的每条边都是有方向的，则称为有向图。有向图中的边是由两个顶点组成的有序对。
  有向图，其中
  1.V是非空集合，称为顶点集。
  2.E是V×V的子集，称为弧集。
• 简单图：不含平行边和环的图；
• 复杂图：存在平行边和环
• 零图：只有顶点没有边的图
• 平凡图：只有一个顶点的零图
• 空图：没有顶点的图
• 完全二分图：完全二分图，是一种特殊的二分图，可以把图中的顶点分成两个集合，使得第一个集合中的所有顶点都与第二个集合中的所有顶点相连。（二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边(i，j)所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。）
• 补图：节点集为G的节点集，两个节点有一条边相连，当且仅当这两个节点在G上不相邻，换句话说，它是G关于Kn的相对补图。G的补图常记为G或 ，若它的补图与它自身同构，则称为自补图。
• 无向简单图：圈图、轮图、n立方体图
• 无向完全图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；（n(n-1)/2条边）
  有向完全图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；（n(n-1)条边）
• 握手定理：节点度数的总和等于边的两倍
  任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个；
  任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；
  每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路；
• 图的重构
  具有相同的变数、顶点数、度数列（必要条件）

5.2 图的连通性

• 通路：若一条路中经过的所有结点均不相同，则称该路为通路
• 简单通路：通路中边各不相同
• 基本通路：通路中顶点各不相同
• 回路：始点与终点相同的路称为回路
• 简单回路：闭的简单通路
• 基本回路：除起点终点相同外，无别的相同的结点
• 圈：除始点与终点外其余结点均不相同的闭迹称为圈
• 奇圈：长度为级数的圈
• 偶圈：长度为偶数的圈
• 连通图：每一对不同顶点之间都有通路，为连通图
• 连通分支：不相交的连通子图
• 点割集：删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集；
• 割点：如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点；
• 重连通图：没有割点的图
• 强连通：有向图章任意两节点相互可达；
• 单向连通：图中两节点至少有一个方向可达；
• 弱连通：无向图的连通；(弱连通必定是单向连通)
• 基图：略去有向图每条边上的方向后得到的无向图

5.3 图的矩阵表示

• 关联矩阵：横边纵点
  度点：每行元素之和
  平行边：两列完全相同
• 邻接矩阵：橫点纵点
  无向简单图对角线为0
  带权图：带权值（边有值）的图
• 可达矩阵 : P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列；
  P(G)=A(G)+A^2(G) + A^3(G)+ A^4(G)
  可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路；
  A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1的通路条数；
  A^2(G)中所有数的和：表示图中路径长度为2的通路条数；
  A^3(G)中所有数的和：表示图中路径长度为3的通路条数；
  A^4(G)中所有数的和：表示图中路径长度为4的通路条数；
  P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数；
  若P（G）中元素全为1，为强连通图

5.4 欧拉图

• 欧拉路：包含图中所有边的开迹称为该图中的一条欧拉迹或欧拉路
• 欧拉通路：经过连通图每条边各一次的简单通路
• 半欧拉图：具有欧拉通路的图
• 欧拉回路：包含图中所有边的闭迹称为欧拉回路
• 欧拉图：含欧拉回路的图称为欧拉图
  无向图G是欧拉图当且仅当G是连通的并且每个结点的度均为偶数
  无向图G中存在一条欧拉迹，当且仅当G是连通的，并且图中恰有两个奇数度的结点
  有向图G是欧拉图，当且仅当它是连通的，并且每个结点的入度等于其出度
  一个有向图G中具有单向欧拉路，当且仅当它是连通的，而且除了2个结点外，每个结点的入度等于出度。但是在这2个结点中，一个结点的入度比出度小1，一个结点的入度比出度大1

5.5 哈密尔顿图

• 哈密尔顿路：包含图中每个结点一次且仅一次的通路称为汉密尔顿路
• 哈密尔顿回路：包含图中所有结点一次且仅一次的圈称为汉密尔顿回路
• 哈密尔顿图：含汉密尔顿圈的图称为汉密尔顿图
  目前为止还没有找到一个简单的判定汉密尔顿路或回路的存在性的充分必要条件
  存在割点的图必不是汉密尔顿图
  设G=< X,E,Y>是无向连通二部图，其中，设|X|=m，|Y|=n。若m！=n，则G必不是汉密尔顿图。若|m-n|>1，则G中必不存在汉密尔顿路
  设G是含有n个结点的简单无向图，如果G中的任何两个不同结点的度数之和都大于等于n-1，则G中存在汉密尔顿路
  推论：设G是具有n（n>=3)个结点的简单无向图，如果G中每一对结点的度数之和大于等于n，则G中存在一条汉密尔顿回路

（谢天谢地终于整完，吐血ing，只整理了据说要考的部分，还有一部分没有整，等有时间再搞了）