Hungarian algorithm 匈牙利算法

趣写算法系列之--匈牙利算法

匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出,因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想,它是部图匹配最常见的算法,该算法的核心就是寻找增广路径,它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

维基:

设G=(V,E)是一个无向图。如顶点集V可分区为两个互不相交的子集V1,V2之并,并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个不同的子集。则称图G为二分图。二分图也可记为G=(V1,V2,E)。

给定一个二分图G,在G的一个子图M中,M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点,则称M是一个匹配。 选择这样的子集中边数最大的子集称为图的最大匹配问题(maximal matching problem)

如果图的所有顶点都与某匹配中的一条边相关联,则称此匹配为完全匹配,也称作完备完美匹配

 求最大匹配的一种显而易见的算法是:先找出全部匹配,然后保留匹配数最多的。但是这个算法的时间复杂度为边数的指数级函数。因此,需要寻求一种更加高效的算法。下面介绍用增广路求最大匹配的方法(称作匈牙利算法,由数学家Harold Kuhn于1955年提出)。

 增广路的定义(也称增广轨或交错轨):

  若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径,并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现,则称P为相对于M的一条增广路径。(M为一个匹配)




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