数学建模课后习题

第六章5、6、7题

第五题

[F]=[k][v]⇒
MLT−2=[k]⋅LT−1⇒
[k]=MT−1

而 f(t,l,m,g,k)=0
[t]=T,[l]=L,[m]=M,[g]=LT−2,[k]=MT−1;
A3×5=⎡⎣⎢100010001−210−101⎤⎦⎥
令 y1=1,y5=0
得 y⃗ =(1,−1/2,0,1/2,0)
令 y1=0,y5=1
得 y⃗ =(0,1/2,−1,−1/2,1)⇒

π1=φ(π2)

其中 π1=tl−1/2g1/2,π2=l1/2m−1g−1/2k
⇒

t=lg−−√⋅φ(kl1/2mg1/2)

设模型的对应量为 t′,l′,m′ 而 k,g 不变且保证

l1/2m=l′1/2m′

⇒t′t=l′l−−√

第六题

设 f(m,r,p,p0,k)=0
已知

p=p0φ(p0k,r3ρm)

与模型不同有 r′,m′;
则模型为

p=p0φ(p0k,r′3ρm′)

⇒r′3m′=r3m

则 r=mm′−−−√3⋅r′=1/1000−−−−−−√3⋅r′=r′/10

第七题

[k][v]=[F]⇒
[k]=MT−1
令 xc=v2g−1,tc=vg−1
那么

x¯=xxc=gv2x

t¯=ttc=gvt

⇒

dx=v2gdx¯

dt=vgdt¯

dt2=v2g2dt2¯

⇒

⎧⎩⎨x˙=dxdt=vdx¯dt¯=v⋅x¯˙x¨=d2xdt2=gd2x¯dt¯2=g⋅x¯¨

又知道

mx¨+kx˙+mg=0⇒mgx¯¨+kvx¯˙+mg=0⇒

x¯¨+εx¯˙+1=0

其中 ε=kvmg
可知 x¯(0)=0,x¯˙(0)=1⇒
当 k→0⇒ε→0⇒x¯¨=−1⇒x¯˙=−t+1⇒x¯=−(t+1)t⇒

x=−(t+1)t⋅v2g