动态规划刷题总结

什么样的问题适合动态规划

数据结构与算法：41 |动态规划理论：最优子结构、无后效性和重复子问题_zj-CSDN博客

一个模型：多阶段决策最优解模型，重点在于多阶段，每个阶段都对应着不同的状态

三个特征：最优子结构，无后效性，重复子问题。主要抓住最优子结构这一特征，理解为后面的阶段状态可以由前面的阶段状态推导而来。

动态规划的步骤

状态定义

首先应该思考怎么样把原问题划分为多个阶段，然后判断我们是需要一维的状态还是二维的状态（这一步通常比较容易），以及搞清楚每个状态的实际意义是什么。

比如leetcode 第 64 题：最小路径和(C++)_zj-CSDN博客_leetcode c++最小路径调试模板，这个问题：数组中的每个位置都可以对应一个阶段，所以我们可以定义二维的dp数组dp[i][j]，i 和 j就表示每个阶段的坐标，数组的元素值 dp[i][j]就是状态值， 代表从左上角走到 (i, j)这个位置的路径和。

状态转移

两种思考方式，向前或者向后（本质上没区别），不过为了计算方便，更多的时候我们会选择向前思考：

• 向后思考：假设当前阶段处于 (i, j) 这个位置，我们下一个阶段有可能转移到哪个位置。
  还是上面的例子，由于只能向下/向右移动，所以明显下一阶段可能会走到 (i+1, j) 或者 (i, j+1)的位置。所以这两个位置的状态值就可以由 (i, j)的状态值 dp[i][j] + grid[i+1][j]/grid[i][j+1]计算而来，然后我们就可以考虑更新 (i+1, j) 和 (i, j+1)这两个阶段的状态值了，至于怎么更新，就看题目是要求求最小值还是最大值或者其他的，根据需要选取即可。
• 向前思考：假设当前阶段处于 (i, j) 这个位置，那就思考我们是从哪个位置转移到(i, j) 这个位置的呢？还是上面的例子，由于只能向下/向右移动，所以我们只能从 (i-1, j) 或者 (i, j-1)的位置转移而来，那么就需要根据题意（最大，最小…）对这两种转移进行选择。本题要求是求最小的路径和，那就看哪一个转移过来的路径和最小，就选哪一个：
  $$f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i-1][j])+grid[i][j]$$

状态边界处理

状态转移总会有一个开始/结束或者边界的地方，这些地方的状态和其他地方稍有差别，我们需要特殊处理。常见的有二维dp数组的第一行、第一列，一维dp数组的第一个元素，我们需要特殊赋值。

不过这一部分通常比较简单，很多时候都是赋1或者赋0，进行简单的推导即可。

编写代码

有了状态转移方程之后，编写代码就相对容易了。不过还是需要注意边界的处理，是很容易忽略的地方。

空间优化

对于很多dp问题来说，比如上面的那个例子，其实并不需要完整的二维dp数组，很多时候都可以使用滚动数组或者一位数组进行替代，不过很多时候空间优化后的代码可读性会降低，可以自行考虑。