Kalman滤波学习笔记一《绪论：最优估计》

学习笔记参考：《Kalman滤波基础及MATLAB仿真》北京航空航天大学出版社——王可东编著

1、任何传感器都存在确定性和随机测量误差；
2、两种获取物体状态的方法：积分推算法和直接测量法，前者的误差随工作时间发散；
3、误差分为确定性误差和随机误差，前者可以完全补偿，后者不可以，且只能从统计意义上认识；
4、估计的定义：基于测量结果，按照状态与其测量值之间的内在关系，确定状态统计量的过程；
5、估计的分类：预测、滤波和平滑；预测的精度最低，平滑的精度最高，滤波的精度介于两者之间；
6、预测：利用从初始时刻到当前时刻的所有测量结果，对未来某一时刻的状态进行估计的过程；
7、滤波：利用从初始时刻到当前时刻的所有测量结果，对当前时刻的状态进行估计的过程；
8、平滑：利用从初始时刻到当前时刻的所有测量结果，对过往某一时刻的状态进行估计的过程；
9、最优估计的定义：基于对状态的多个测量结果，按照某种最优准则，实现对状态的估计；
10、一个小例子：设对某一常量 $x$ 进行两次独立无偏测量，试基于这两次测量结果给出对常量 $x$ 的线性、无偏和最小方差的估计结果：
    解：设两次测量值 $z_1,z_2$ 分别为：$$\{\begin{array}{l}{z}_1=x+v_1\\ z_2=x+v_2\end{array}$$         式中，$v_1,v_2$ 分别为两次测量的误差。由于两次测量都是无偏的，即 $E(z_1)=E(z_2)=E(x)$，又 $x$ 为常量，故 $E(x)=x$，可得 $E(v_1)=E(v_2)=0$；同时，设：$$\{\begin{array}{l}E(v_1^2)={\sigma }_1^2\\ E(v_2^2)={\sigma }_2^2\end{array}$$        又因为两次测量是独立的，即两次测量误差之间是不相关的，故有 $E(v_1{v}_2)=0$。设 $x$ 的估计值 $\hat{x}$，按照线性假设，有：$$\hat{x}=k_1{z}_1+k_2{z}_2$$        式中，$k_1,k_2$ 为待定的线性加权系数。估计偏差为 $\tilde{x}=\hat{x}-x$，基于无偏估计要求，有：$$E[\tilde{x}]=E[k_1(x+v_1)+k_2(x+v_2)-x]=(k_1+k_2-1)E(x)=(k_1+k_2-1)x=0$$        可得：$$k_1+k_2-1=0$$        再考虑到估计偏差的方差最小，有：$$E[{\tilde{x}}^2]=k_1^2{\sigma }_1^2+(1-k_1{)}^2{\sigma }_2^2$$        上式通过对 $k_1$ 求导可知最小均方估计误差为：$$E({\tilde{x}}^2{)}_{min}=(\frac{1}{{\sigma }_1^2}+\frac{1}{{\sigma }_2^2}{)}^{-1}$$ $$\tilde{x}=(\frac{{\sigma }_2^2}{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2})z_1+(\frac{{\sigma }_1^2}{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2})z_2$$

        可以看到分配给测量精度高的值更大的权重，这也是符合常理的；
11、最优估计的一般过程：
       ①基于事物自身的某种规律，建立状态随时间的变化关系，称为“系统建模”；
       ②建立测量值与状态之间的变化关系，称为“量测建模”；
       ③对误差进行建模，其中包括系统误差和测量误差；
       ④基于某种最优准则构建最优估计算法；
12、小例子的MATLAB实现：设一辆汽车在一条公路上匀速直线行驶，速度为 $30m/s$。车上安装了BDS接收机，其测速误差是均值为 $0$、标准差为 $0.1m/s$ 的高斯噪声；同时，车载测速仪的测速误差为均值为 $0$、标准差为 $0.5m/s$ 的高斯噪声。试利用这两个车速测量结果，针对车速，设计一线性、无偏和估计偏差方差最小的估计算法，并画出其在 $100s$ 之内的速度估计偏差。

MATLAB代码如下：

clear all; close all;
N = 100;    %运行时间
x = 30 * ones(N,1);    %被估计对象
sigma1 = 0.1; sigma2 = 0.5;    %噪声方差
v1 = sigma1 * randn(N,1); v2 = sigma2 * randn(N,1);    %模拟正态分布的白噪声
z1 = x + v1; z2 = x + v2;    %发生测量值
w1 = sigma1^2/(sigma1^2 + sigma2^2);
w2 = sigma2^2/(sigma1^2 + sigma2^2);
x_est = w1 * z2 + w2 * z1;
figure(1)
plot(1:N,x_est,'k*-',1:N,x,'k',1:N,z1,'ks-',1:N, z2,'ko-');
legend('估计值','真值','测量值1','测量值2');
xlabel('时间（s）');ylabel('速度（m/s）')
figure(2)
plot(1:N,x_est-x,'k*-',1:N,v1,'k',1:N,v2,'ko-');
legend('估计误差','测量误差1','测量误差2')
xlabel('时间（s）');ylabel('速度误差（m/s）')

课后习题
1、设对某一常量 $x$ 进行三次独立无偏测量，试基于这三次测量结果给出对常量 $x$ 的线性、无偏、最小方差估计结果。
2、某溶液中物质浓度以指数方式随时间降低。$t_1,t_2$ 时刻溶液浓度的带干扰量测方程为：$$z_i=x_0{e}^{-t_i}+v_i(i=1,2)$$      其中，$v_i$ 均值为零，方差为 ${\sigma }_i^2$ 。求初始浓度 $x_0$ 的无偏最小方差估计及对应的估计方差。
3、在笔记第10条的例子中，若 $E(v_1{v}_2)=\rho {\sigma }_1{\sigma }_2$ ，其它对应条件相同，求最优估计。
4、将笔记第10条的例子推广至 $n$ 次测量的情况，基本假设相同。
参考答案如下：