图论专题 - 解题报告 - J

题意：给你一个二分图，选出最少的点使得覆盖的边数最多。查阅过之后发现这就是常说的二分图中最小点覆盖问题，而最小点覆盖问题是可以转化为二分图最大匹配问题的，
详见 二分图最大匹配的König定理及其证明
二分图最大匹配：对于二分图G的一个子图M，若M为其边数最多的子图，则称M为G的最大匹配。

那么问题来了，二分图最大匹配如何求呢，自然匈牙利算法是常用解法，但是复杂度$O(n^3)$。这题基本上就可以舍弃了。
我们可以通过优秀的建图把问题转化为一个最大流问题，我们把每一条边的流量设置为1(反向边为0)，建造源点和汇点(我是源点start=0,汇点goal=n+m+1)，那么流到了汇点，最大流量就是网络流。

dinic，过：

#include
#define FOR(a, b, c) for(int a=b; a<=c; a++)
#define maxn 3000005
#define maxm 55
#define hrdg 1000000007
#define zh 16711680
#define inf 2147483647
#define llinf 9223372036854775807
#define ll long long
#define pi acos(-1.0)
#define ls p<<1
#define rs p<<1|1
using namespace std;

inline int read(){
    char c=getchar();long long x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}

int a, b, m, u, v, d, max_flow, depth[maxn];
int start, goal;
struct Edge{ int nex, to, dis;}edge[maxn*5];
int head[maxn*5], tot, cur[maxn*5];					//除了变量设计，dinic就是从H题复制粘贴过来的没必要看了
void add_egde(int u, int  v, int d){
    edge[tot] = {head[u], v, d}; head[u] = tot++;
    edge[tot] = {head[v], u, 0}; head[v] = tot++;
}

bool bfs(int start, int goal){
    memset (depth, -1, sizeof(depth));
    queue  q;
    depth[start] = 0;
    q.push(start);
    while (!q.empty())
    {
        int now = q.front(); q.pop();
        for (int i = head[now]; ~i; i = edge[i].nex)
        {
            int to = edge[i].to;
            if (depth[to] < 0 && edge[i].dis > 0)
            {
                depth[to] = depth[now] + 1;
                q.push(to);
            }
        }
    }
    return depth[goal] > 0;
}

int dfs(int now, int goal, int limit) {
        if(now == goal) return limit;
        for(int & i = cur[now]; ~i; i = edge[i].nex) {
            int to = edge[i].to;
            if(edge[i].dis > 0 && depth[to] > depth[now]) {
                int d = dfs(to, goal, min(limit, edge[i].dis));
                if(d > 0) {
                    edge[i].dis -= d;
                    edge[i ^ 1].dis += d;
                    return d;
                }
            }
        }
        depth[now] = -1; 
        return 0;
}

void init(){
    memset(head, -1, sizeof(head));
    tot = 0;
}

int dinic(int start, int goal){
    int flow = 0, f;
    while (bfs(start, goal))
    {
        for (int i = start; i <= goal; i++)
            cur[i] = head[i];
        while (f = dfs(start, goal, inf))
            flow += f;
    }
    return flow;
}

int main()
{
    init();
    a = read(); b = read(); m = read();
    start = 0; goal = a + b + 1;				//源点和汇点
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        u = read(); v = read();
        add_egde(u, v + a, 1);					//正向边的权值设为1
    }
    for (int i = 1; i <= a; i ++)
        add_egde(start, i, 1);					//源点流出
    for (int i = a + 1; i <= goal - 1; i++)
        add_egde(i, goal, 1);					//汇点集合
    printf("%d\n", dinic(start, goal));
    return 0;
}