C++学习笔记：浅析匈牙利算法

引言

匈牙利算法在手，孟非都为你亮灯。

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二分图&最大匹配

在学习匈牙利算法之前，要先了解二分图

二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。

设G=(V,{R})是一个无向图。如顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属两个不同的子集。则称图G为二分图。

感性理解：两个互不相交的子集就像男生和女生，男女有别。。。

然后就是最大匹配

给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。

感性理解：一个男的喜欢一个女的，恰巧女的也喜欢男的，然后就叫一个匹配

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匈牙利算法

对于选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题(maximal matching problem)

然后。。。

就引出主题匈牙利算法（感性理解：就是最优相亲算法）

有一种感性的理解：一群剩男剩女进行组成伴侣，在不同性恋、不一夫多妻、一妻多夫的情况下撮合尽可能多的情侣

对于一个问题，形如

你是孟非老师，在《非诚勿扰》牵桥搭线，现在有19位男嘉宾，和24位女嘉宾，现在你已成功搭配了19对，后来又来了4位男嘉宾每位男嘉宾都有自己有好感的女嘉宾，而每位女嘉宾都给自己喜欢的男嘉宾亮灯。你，孟非老师，有一个远大的理想，想让世界上有更多的cp，那该如何配对

关系如下图

1号男嘉宾——菜老师对女嘉宾有好感，同理，都亮灯了

有线连着的表示互有好感

牵线时间

1号菜老师直接强上1号女嘉宾，2号男连只能连2号女，这时，牵线正爽的你发现了问题

尴尬的3号男失去了唯一的机会

 

这时只能重新看到占有3号男梦想的2号男，让他给3号男一个机会

而2号男只能强连1号女，green 了菜老师，菜老师无奈重连3号女

然后你就挽回了3号男的梦想

然后4号男直接强上5号女

完成了最大匹配，送走了最后的可怜剩女

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牵线总结

最后不难发现最大牵线的重点在于创造机会

正如 时间告诉我的，说过的话可以算了，爱的人可以再换

所以创造机会的关键就在于换人一词

而换人就要根据需求一个一个往上换，换到合适或实在不行为止

思路灵感来源

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代码

奉上一段代码，理解消化啦啦啦

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#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
 
vector  G[307] ;
int n , m , ans ; 
int M[307] ;
bool vis[307] ;
 
bool dfs( int f ) {//DFS牵线
    for(int i = 0 ; i < G[f].size() ; ++ i ) {
        int s = G[f][i] ;
        if( !vis[s] ) {
            vis[s] = 1 ;
            if( M[s] == -1 || dfs( M[s] ) ) {
                M[s] = f ;//如果名花无主或可以换人就直接强上
                return 1 ;
            }
        }
    }
    return 0;
}
 
int main()
{
    scanf("%d%d", &n , &m );
    for(int i = 1 ; i <= n ; ++ i ) {//基本输入
        int sum ;
        scanf("%d", &sum );
        for(int j = 1 ; j <= sum ; ++ j ) {
            int num ;
            scanf("%d", &num );
            G[i].push_back(num); 
        }
    }
    memset( M , -1 , sizeof( M ) );//女嘉宾全部赋为 名花无主 标记
    for(int i = 1 ; i <= n ; ++ i ) {
        memset( vis , 0 , sizeof( vis ) );//每一次牵线都要重置是否访问
        if( dfs(i) )
            ans ++ ;
    }
    printf("%d", ans );
    return 0;
}

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理论时间

最后的理论证明

在学习中，就算是孟非老师或菜老师，也是需要理论知识支撑的，这样才能成为本世纪最伟大的 Matchmacker （红娘，媒婆的意思）

(先了解一下命题)

定理：存在增广链是增广当前匹配的充要条件

等价的命题是，为什么在当前匹配下不存在以左边某一未匹配点开始的增广链，该点就不是当前匹配下增广的必要点，即该点不能增广当前匹配。

从匹配增广的原理可以看出，以该点开始的增广链是该点可以增广当前匹配的充分条件

必要条件？

首先能理解的是：如果增广路径从左边开始终止在左边点

路径上已经选择的边和没有被选择的边数量相同

按照前面介绍进行增广操作并不能增加比配边数

然后用反证法去证明如果该点能改善匹配，那么就一定存在，不需要改变原来匹配点集合的（已经匹配的点一定在改善后的匹配中），以该点开始的增广链

在这里假设已经匹配的左边点为，对应的右边点为

如果该点能改善匹配，那么根据匹配的独立性，必然在改善后的匹配中，右边也有个点，而且，只需要一个新的右边点加入匹配即可（这个可以从下面的分析中可以看出）

1.如果在改善的匹配中，匹配的是新点，那么就是一条增广链

2.如果匹配的不是新点，那么假设匹配的是，在原来匹配中匹配对象是，根据匹配唯一性，在改善后的匹配中匹配的肯定不是，如果匹配的是新点，那么就是一条增广链

3.如果匹配的还是原来匹配的点，那就继续上面的分析2，根据已经匹配点数量是有限的，当分析到最后一个左边点时，根据匹配的唯一性，它必然和新点连接（因为旧点只有k个），那么增广链依然存在（开始，结束，中间穿过所有的和）

综上分析，如果存在改善匹配包含了该新点，那么就必然存在一条以该点开始的增广链，而且新增的右边点仅仅有一个，不需要另外的点去替换原来的右边点

引理：那么根据存在增广链是增广当前匹配的充要条件，算法只要遍历所有未匹配的左边点，没有找到增广链，即可终止算法，找到最大匹配

 

另外一方面

定理：在目前的匹配情况下

没有搜索到以该点开始的增广路径

在后面加入别的点的匹配情况下，也不可能有以该点开始的增广路径存在

（这个保证了算法只要遍历一遍左边点即可，不需要重复遍历）

证明：

原来的匹配为，对应的右边点为

如果加入新点和时，所使用的增广链为，改善后的匹配变成和对应的，p=k+1

前提：在原来的匹配下没有增广路径

假设在改善后的匹配下存在增广路径

1、如果增广路径中不存在，  中的，那么增广路径肯定不存在，因为改善匹配中存在匹配，所以

中的和都是原匹配中的，因此这是原匹配中的一条增广路径，和前提相悖

2、如果增广路径中存在，  中的，那么原匹配中必然存在增广路径，也是原匹配中的一条增广路径，和前提相悖

综上即证

证明原创出处：https://blog.csdn.net/qq_25379821/article/details/83721379

学完后，你就是一个合格的 Matchmacker