匈牙利算法与增广路径

利用匈牙利算法可以求得二分图最大匹配。

匈牙利算法的基本原理如下：

①置M为空；

②找到一条增广路径P，通过异或操作获得更大的匹配M'代替M；

③重复②直到找不到新的增广路径。

增广路径的定义如下：

若P是图G中一条联通两个未匹配顶点的路径，且属于M的边和不属于M的边在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。

上个图理解一下：

①初始状态

当前已有边(1,1')和(4,3')属于M。

②找到一条增广路径P

如图，增广路径P为：(3 - 1' - 1 - 3' - 4 - 4')。其中，不属于M的路径有：(3, 1')、(1, 3')和(4, 4')，属于M的路径有(1‘, 1)和(3', 4)。显然，在上面的路径P中，不属于M的路径和属于M的路径是交替出现的。[3-1'(蓝), 1'-1(黑), 1-3'(蓝), 3'-4(黑), 4-4'(蓝)]

③对第②步中的图进行取反，将原来属于M的路径去除，将原来不属于M的路径加入M中。(即蓝色的边变成黑色，黑色的边变成蓝色)

④完成。

最后再看一下由增广路径的定义可以推出的三个结论：

①P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M

②P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M

③M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径