动态规划：最长公共子序列

动态规划

步骤

1. 描述最优解的结构
2. 递归定义最优解的值
3. 按自底向上的方式计算最优解的值 //此3步构成动态规划解的基础。
4. 由计算出的结果构造一个最优解。 //此步如果只要求计算最优解的值时，可省略。

与分治法比较

相同点：其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
不同点：动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。动态规划可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。

最长公共子序列LCS

问题描述

题目：如果字符串一的某些字符按其在字符串中的顺序出现在另外一个字符串二中，则字符串一称之为字符串二的子串。
注意，并不要求子串（字符串一）的字符必须连续出现在字符串二中。
请编写一个函数，输入两个字符串，求它们的最长公共子串，并打印出最长公共子串。
例如：输入两个字符串BDCABA和ABCBDAB，字符串BCBA和BDAB都是是它们的最长公共子序列，则输出它们的长度4，并打印任意一个子序列。

动态规划求解

假设我们用c[i,j]表示Xi 和 Yj 的LCS的长度（直接保存最长公共子序列的中间结果不现实，需要先借助LCS的长度）。其中X = {x1 ... xm}，Y ={y1...yn}，Xi = {x1 ... xi}，Yj={y1... yj}。可得递归公式如下：

递归关系

递归求解LCS长度

LCS长度

非递归求解LCS长度

非递归求解LCS长度

构造LCS

构造LCS

示例

求解示例

对C数组的0行0列进行初始化，后按顺序遍历,例如：
x1!=y1;c[1][1]=max(c[1][0],c[0][1])=0;
x2==y1；c[2][1]=c[1][0]+1;同时每一步加上方向标志符。

代码示例

void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int c[][MAXLEN], int b[][MAXLEN])
{
    int i, j;

    for(i = 0; i <= m; i++)
        c[i][0] = 0;
    for(j = 1; j <= n; j++)
        c[0][j] = 0;
    for(i = 1; i<= m; i++)
    {
        for(j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(x[i-1] == y[j-1])
            {
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                b[i][j] = 1;                    //如果使用'↖'、'↑'、'←'字符，会有警告，也能正确执行。
            }                                   //本算法采用1,3,2三个整形作为标记
            else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1])
            {
                c[i][j] = c[i-1][j];
                b[i][j] = 3;
            }
            else
            {
                c[i][j] = c[i][j-1];
                b[i][j] = 2;
            }
        }
    }
}

void PrintLCS(int b[][MAXLEN], char *x, int i, int j)
{
    if(i == 0 || j == 0)
        return;
    if(b[i][j] == 1)
    {
        PrintLCS(b, x, i-1, j-1);
        printf("%c ", x[i-1]);
    }
    else if(b[i][j] == 3)
        PrintLCS(b, x, i-1, j);
    else
        PrintLCS(b, x, i, j-1);
}