一阶微分方程的求解

本篇介绍一下一阶微分方程的求解方法,以及伯努利方程的特殊求解方法。这个应该是上学时高数课中的内容,现在用到了,温习一下。 顺便感叹一下,时间过得真快。

1. 定义

新しい画像 (1)

形如上式的方程称为一阶线性微分方程, 并且当Q(x)恒为零时称为齐次线性方程, Q(x)不恒为零时称为非齐次线性方程.

 

2. 通解

2.1 齐次线性方程的通解

对于齐次线性方程:

新しい画像 (2)

可以推出:

新しい画像 (2) 通解为:

新しい画像 (2) 

2.2  非齐次线性方程的通解

对于非齐次线性方程:

新しい画像 (3)设通解为:

新しい画像 (3)

带入非齐次线性方程:

新しい画像 (3)积分得:

新しい画像 (3)其中C为常数。 

于是非齐次线性通解是:

新しい画像 (4)

由此可以看出,齐次线性方程的通解是非齐次线性方程的一个特解。

 

3.  伯努利方程

新しい画像

形如上式的方程叫做伯努利方程。

将方程线性化得:

新しい画像

例子:

求下列方程的通解

9两边除以y的平方得:

新しい画像 (7)将第一项中y的负平方移入微分内得:

新しい画像 (7)由非齐次线性方程的通解可知:

新しい画像 (7)即原方程的通解为:

新しい画像 (7)

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